Лекция 001·(вводная).
Л и т е р а т у р а  к курсу лекций.
А. Программа МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. (Рабочая программа курса "Общая физика".       Aннотированная. 2002 / 03 уч. г. Часть 2.)
     (Ссылки на программу и заголовки вопросов даются в формате: {Пр. m. S.} nQ, где      m  № раздела, S  заглавие раздела, n  № вопроса, Q  вопрос. В скобках {}       необязательные части ссылки.)

Б. Руководства. Список из программы А, не сокращенный для лекций. (Ссылки даются в  	формате: [№]: §§ №, №.)

[1]. Сивухин Д.В. Общий курс физики, Т. II. Термодинамика и молекулярная физика. М.,         1975‚… 2002.
[2]. Фриш С.Э., Тиморева А.В. Курс общей физики, T. I . М., 1962 и 2006 (более                                       ранние  другая     нумерация параграфов).
[3]. Молекулярная физика жидкостей в курсе общей физики. (Соловьев В.А.), Л., 1983,              2004.
[4]. Соловьев В.A.‚ Aджемян Л.Ц.‚ Фриш М.С. Избранные вопросы молекулярной физики.       1. Методы термодинамических преобразований. 2. Растворы. СПб‚ 1999. 
[5]. Кикоин И.К., Кикоин А.К. Молекулярная физика. М., 1976.
[6]. Матвеев А.Н. Молекулярная физика. М., 1971.
[7]. Рейф Ф. Статистическая физика. М., 1977.
[8]. Фейнмановские лекции по физике. Т.4, М., 1965.
[9]. Ландау Л.Д., Ахиезер А. И., Лифшиц Е.М. Курс общей физики. (Механика и             молекулярная физика). М., 1965.
[10]. Де Бур Я. Введение в молекулярную физику и термодинамику. М., 1962.
[11]. Кричевский И.Р. Понятия и основы термодинамики. М., 1970.
[12]. Поль Р.В. Механика, акустика и учение о теплоте. М., 1973.
[13]. Конспект лекций по физике для студентов физического факультета ЛГУ                (Молекулярная физика и термодинамика). (Толстой Н.А.). Л., 1966.
[14]. Методические указания по общему курсу физики (некоторые вопросы               термодинамики). (Спартаков A.A.‚ Толстой Н.A.). .Л.‚ 1990.
[15]. Хуанг К. Статистическая механика. 1964.
[16]. Сивухин Д.В. Общий курс физики.  Т. 1. М.‚ 1974   2002.
[17]. Сивухин Д.В. (редактор). Сборник задач по общему курсу  физики.   Термодинамика  	и  молекулярная физика.  М.‚ 1976.
[18]. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. М., 1979. (В более поздних изданиях изменены    номера многих задач. В ссылках вида “[18], задача №…” будут даваться также (в          кавычках) ключевые  слова или формулы для поиска задачи по новым изданиям.)

РAВНОВЕСНЫЕ СОСТОЯНИЯ И РАВНОВЕСНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ИДЕАЛЬНОМ ГАЗЕ
(указания к вводному циклу задач)
 
 	Цикл задач, рекомендуемых для решения на семинарах, которые могут предварять теоретическое изучение курса молекулярной физики (или отдельных его разделов), по основным идеям основывается на школьном курсе, но использует более развитый математический аппарат (основы анализа). Цель этой лекции  соответственно дополнить школьный курс молекулярной физики. Методы решения и результаты основных задач будут включены в экзаменационные вопросы. Список задач основан на задачнике [16], в котором многие решения даны в подробном виде.
	Лекция 001 не является самостоятельной частью теоретического курса. В зависимости от избранного преподавателями календарного плана семинарских занятий, отдельные разделы этой лекции могут использоваться как вспомогательный материал при решении соответствующих классов задач.
	Предполагаются известными в общих чертах понятия равновесного состояния и равновесного процесса: термодинамическое равновесие состояние, в котором  при неизменных внешних условиях все макроскопические переменные неограниченно долго сохраняют постоянные (с точностью до флуктуаций) значения; равновесный процесспоследовательность бесконечно мало отличающихся друг от друга (квази)равновесных состояний ([1], §§ 1, 11; [2], § 66).
	Читать:  [1], §§ 1, 4, 7, 84, 11, 121(с.47)-4, 15(формулы (15.2), (15.4), (15.5), 161,5,6, 181,5, 191,5, 20, 21, 211, Задача 1, 23, 281, 301, 39;  [2], §§ 43 — 45, 47, 48, 49, 69, 70, 73 (до рис. 174), 74а, 115. 

	Тема 1. (Пр. 6. Уравнение состояния идеального газа.) 1Эмпирические газовые законы и уравнение Клапейрона   Менделеева. 
	Здесь и везде далее основные обозначения: V  объем, p  давление, t  температура (оС), T  температура (K), m  масса, M  молярная масса, n  число молей (“количество вещества”). (Термин “количество вещества” в указанном узком смысле утвержден международным соглашением, но лучше от него воздерживаться, пока не вступит в силу “подзаконный акт” о запрете его применения в общем смысле, например, для массы. В компьютерном наборе с n легко спутать  v  скорость; имея это в виду, мы будем обозначать скорость похожей греческой буквой u, но читать ее рекомендуем (неправильно!) как “вэ”.)
	Эмпирическое, или термодинамическое, определение идеального газа см. в: [1], § 7; [2], §§ 43‚ 66. (О молекулярно-кинетическом определении и условии идеальности газа см. в: [1], § 58; [2], §§ 46‚ 66.)
	Эмпирические “газовые законы” известны из школьного курса:
	(А) Закон Бойля  Мариотта: при t = const  pV = const.	(0.1)
	(Б) Закон Гей-Люссака: при V = const:  p = p0(1+at) 	(0.2)		(p0  давление  при t=0оС, a1/273,15 К1 с достижимой в 		настоящее время точностью; a одинаково для разных газов);
		    или (после введения абсолютной температуры T=t+1/a): 
				p/T=const.
	    (Игнорируйте некорректность формулы T=t+1/a с точки зрения размерностей!	     Не путайте эмпирическое значение 1/a и определение температуры тройной точки воды T 273,16 К).
	(В) Закон (гипотеза) Авогадро: при заданных  р и Т одинаковые объемы газов содержат одинаковое число молекул (или молей). 
	(Г) Закон Дальтона: при заданных  V и Т давление смеси газов равно сумме парциальных давлений его компонентов, p = Sjpj (pj  давлениe, которoе имел бы чистый газ j при тех же V и Т). Допустима формулировка:      (Г) Объем смеси идеальных газов равен сумме объемов чистых компонентов при таких же давлении и температуре,  V = SjVj . В силу законов А, Б обе формулировки равносильны. 

	Эти законы объединены в (термическом) уравнении состояния Клапейрона   Менделеева (см. [1],  §§ 4, 7;  [2], §§ 43‚ 66):
Для индивидуального газа:        pV=(m/M)RT=nRT.	(0.3)
Для смеси:              pV=nRT=SjnjRT.	(0.3а)
(В названии “уравнение состояния” часто опускают прилагательное “термическое”, в отличие от “калорического”, см. ниже.)
	Определение моля см.[1], § 7, современное значение числа Aвогадро  [1], § 62, значение R  [1],  §§ 7, 156. Для экзамена следует знать наизусть приближенные значения (с двумя  тремя значащими цифрами), используемые в решениях задач. 
	Получение А  Г  из (0.3), (0.3а) трудности не составит. Но для экзамена обязательна также и обратная задача.
	При решении задач более сложного уровня, чем школьный, уравнение состояния часто применяют в дифференциальной форме (см. ниже задачу 1.5). Оно получается путем разложения “интегрального”  уравнения, например, в форме p=nRT/V, в ряд по степеням малых приращений переменных, причем чаще всего ограничиваются линейными членами (“линеаризованное уравнение состояния”). Коэффициенты этого уравнения называются термодинамическими коэффициентами. Этим термином (см. [4], гл. 2) вообще называют частные производные от одних термодинамических переменных (функций состояния) по другим переменным, или величины, пропорциональные этим производным. Способ их введения будет вам ясен из даваемого здесь перечисления. (Будет приведен один из способов, в литературе встречаются незначительные разночтения).
		Изотермический модуль объемной упругости KT связывает приращения давления и объема при постоянной температуре. Казалось бы, естественно определить: KT =. Но такое определение имеет два недостатка: 1) давление всегда снижается с ростом объема, т.е было бы всегда KT < 0; что неудобно; 2) если нас интересует не свойство конкретной системы, а свойство вещества, то разумно заменить dV на относительное приращение dV/V (ср. [16], § 77). Таким образом, разумно принять
				   KT =,	(0.4)
где использовано общепринятое обозначение для частной производной (читается “dp по dV  при постоянном Т”). Вместо V перед скобкой может стоять V0  объем при каком-то начальном или стандартном давлении, например, при р=1 атм или при р=0 (последнее, конечно, не для газов). Конкретный выбор подобных множителей в (0.4)—(0.7) определяется исключительно соображениями практического удобства.	Изотермическая сжимаемость определена как величина, обратная изотермическому объемному модулю:
			             bT =1/ KT = (1/V)(V/p)T.	(0.5)
	(Изобарный) коэффициент (термического) расширения определен как
			                 a = (1/V)(V/T)p.	(0.6)
(обозначение a выше в законе Б соответствует определению из [1], § 84, а не (0.6).)
	Температурный коэффициент давления (изохорный) проще всего определить просто как производную
				     p'T = (p/T)V.	(0.7)
Для юридического оправдания слова “коэффициент” можно вместо p'T использовать величину p'T /p . В отличие от множителей V и 1/V в (0.5)  (0.6) множитель 1/p здесь не дает реальных преимуществ.
 	Определения (0.4)  (0.7) или аналогичные формулы из [1], § 84, исчерпывают список обычно применяемых термодинамических коэффициентов, основанных на термическом уравнении состояния для среды, состояние которой однозначно определяется двумя переменными (V и T или p и T, или V и p), любую из которых можно принимать за независимую (“среда с одной термодинамической степенью свободы”). В силу (0.7) только два из этих коэффициентов являются независимыми, но на практике все четыре применяют одинаково часто. Если состояние системы зависит еще от каких-то переменных, например, от напряженности электрического или магнитного поля, то число независимых термодинамических коэффициентов будет больше двух. В нашем курсе такие (достаточно простые) обобщения  не будут рассматриваться. 
  		Задачи по теме 1.
		Задача 001.1. На основании законов (А)  (Г)  вывести уравнение состояния 
                                      идеального газа (Клапейрона   Менделеева) в интегральной форме                                      [т.е. (0.1), (0.2)]. Указание: для объединения законов (А) и (Б) в одно                                       уравнение pV/T=const лучше не пытаться найти подходящее                                     формальное преобразование, а рассмотреть два последовательных                                     процесса p1,V1,T1  p3,V3,T3   p2,V2,T2, выбрав, например, p3=p1,                                     T3=T2; далее применить закон В и обобщить на смеси, используя Г.
		Задача 001.2. См. [18], задачи 2.4 “В сосуде”, 2.5 “В баллоне” Найти плотность                                        и среднюю молярную массу <M> смеси газов. Рассмотреть два                                      случая: 1) заданы массы компонентов mj, 2) заданы числа молей                                      компонентов nj. 
		Задача 001.3. Построить (термическое) уравнение состояния идеального газа в                                       дифференциальной форме, т.е. уравнение, связывающее малые                                                      изменения переменных (записываются как дифференциалы). 
			Ответ: Из (0.1), например:    pdV+Vdp=(1/M)RTdm+(m/M)RdT.	
	(В большинстве задач, которые вы будете решать, можно по умолчанию считать  dm=0.)
		Задача 001.4. Построить графики изохорного (V=const), изобарного (p=const), 
изотермического (T=const) процессов на диаграммах V—p, T—V, 
T—p. 
		Задача  001.5. Найти термодинамические коэффициенты (по умолчанию предпо-
лагается “коэффициенты линеаризованного термического уравнения состояния”) идеального газа: изотермический модуль объемной упругости, изотермическую сжимаемость, изобарный коэффициент теплового расширения, температурный коэффициент давления. 
Ответ: p, 1/p, 1/T, p/T. (См. также [1], § 84 и [17], задачи 39, 29.) В ответах на эти задачи в [17] даны применяемые в [1] определения и обозначения этих коэффициентов.)
		Задача 001.6. Используя результаты задачи 001.5,  доказать соотношение:
				                 p'T = a/bT = aKT	 (0.8)
(для определений, данных в [1], ср. [1], § 84 или [17], задача 29). Соотношение (0.8) справедливо в общем виде для любой среды, но на экзамене и в контрольных работах доказательство, основанное на частных результатах задачи 1.5, конечно, не должно применяться! (Общее доказательство дано в [4], § 42 и в [1] § 82, 84, а также в [17], задачи 28, 29; заметьте, что анализ в задаче 28 является наиболее общим: в нем исходят из уравнения в общей форме F(p,V,T)=0, а не в форме, разрешенной относительно р, хотя его принципиальная разрешимость относительно любой из переменных (неявно) предполагается).
		Задача 001.7. Записать уравнение состояния (0.3) (для n =const) в                                       дифференциальной  форме, используя термодинамические                                       коэффициенты (0.4) — (0.7). В таком виде оно будет применимо к                                       любой среде, состояние которой определяется двумя переменными                                      (V и T  или p и T,  или V и p). 
			Ответ. dp=—KT dV/V+p'T dT   или d p=—KTdV/V+p'T dT.
		Другие задачи по теме 1.
		Задание 001.8. См. [17], задачи 42 — 44, 46 — 51, 52  59, 63. Указание к                                          задачам 4951. Манометр Мак-Леода, см. рис. 147 в [2], не                                          описан в [1]. Способ применения, предполагаемый в задачах,                                          отличается от описанного в  [2], § 57: уровень ртути в капилляре С                                          следует устанавливать  на высоте вершины капилляра В, тогда                                          h=р' (mm Hg) равно  расстоянию  вдоль Б между мениском ртути                                          и  этой вершиной. См. также [5], § 58.
		Задание 001.9. См. [18], задачи 2.7 “Поршневым”, 2.8 “Найти давление”, 2.9                                                  “Камеру”. Примечание: Задачу 2.8 решить двумя способами: а)                                         построить дифференциальное уравнение для р как функции t, б) в                                         ответе на задачу 2.7 записать h=Ct/DV  и перейти к пределу DV→0.		Задание 001.10. Рассмотреть откачку неидеальным поршневым насосом (схема                                          на рисунке; реальная современная конструкция — в [2], § 57).  См.                                         также работу № 9 в I физической лаборатории.

v

 p

Ц и П

vп

V

 p'

 pатм

K1 К1

K2

П

	
                                              Здесь V  — откачиваемый объем,  Ц — цилиндр насоса, в                                          котором ходит  поршень П, К1 и К2 — клапаны, v — рабочий объем                                        “под” поршнем (на рисунке — слева от него), vп — “паразитная”                                        часть объема v (возникает за счет несовершенства изготовления, на                                        схеме сильно преувеличена), р и р' — давления в V и v. При                                        движении поршня влево клапан К1 закрыт, К2 открыт. Далее К2                                        закрывается, К1 открывается, поршень движется вправо, К1                                        закрывается, К2 открывается, поршень движется влево…  и т.д.
                                       Когда насос работает как водяной, клапаны могут срабатывать за                                        счет разности давлений, но при откачке газа моменты их                                         срабатывания задаются конструкцией насоса. 	          		         	        а) Построить примерную кривую зависимости давления р от                                        времени t. На этой (зубчатой) кривой отметить начальное давление                                        р0 (обычно равно  р0=ратм), pn — максимальные и p'n —                                       минимальные давления на каждом шаге откачки (n = 1, 2,…) и                                        предельное давление р∞ (см. ниже).				        б). Построить рекуррентную формулу, связывающую pn  и pn-1.                                        Найти р∞ (из условия р∞= рn=рn-1). 				Ответ: pn = pn-1V/(V+v) + p0vп/(V+ vп ); р∞= р0(vп/v)(V+ v)/(V+ vп).	        		        в). Построить формулу, связывающую pn и p0.		      		Ответ: pn — р∞ = ( р0 — р∞)/(1+ v/V)n. Об этом результате можно                                       догадаться по аналогии с ответом на  задачу [18] 2.8 в задании                                       001.10. Для доказательства проще всего использовать рекуррентную                                       формулу, полученную выше в б), вычесть из обеих частей равенства                                       р∞,  а в правой части прибавить и вычесть р∞V (V+ v).	  		Задание 001.11. Показать,что предельное разрежение р∞, даваемое тандемом из                                       двух последовательно соединенных насосов равно                                       р∞ танд.= р0(р∞/р0)1(р∞/р0)2. При этом скорости откачки двух насосов                                      (см. определение в [18], задача 2.8) должны относиться как                                      C1/C2=(р∞/р0)1/(р∞/р0)2, а их производительности одинаковы.                                      (Производительность насоса Q измеряется количеством газа,                                      откачиваемым в единицу времени. Используют две величины:   
QpV =p0C и Qm=p0(M/RT)C.) Чаще всего встречается тандем из диффузионного и  форвакуумного насосов (см. [2], § 57) и работу  № 10 в I физической лаборатории). Механические насосы часто оформляют в виде тандема из двух насосов с общей осью роторов.    
		Задание 001.12. Рассмотреть течение жидкости и газа через длинную трубу                                       круглого сечения (формула Пуазейля и ее обобщение для газа). См.                                        [16], § 97; [2], § 41петит;   [1], §89задача 1.   Ввести  обозначения:
                                      Объемный расход QV (объем жидкости, протекающей в единицу                                       времени через поперечное сечение трубы), расход   массы Qm = rQV,                                       (можно использовать также “расход количества газа” в форме                                       QpV = (RT/M) Qm). Использовать эти обозначения при                                                  решении следующих задач. 
                                       Показать, что формула Пуазейля для газа   может быть записана как                                        аналог закона Ома, где Qm или QpV играют роль силы тока, а                                        давления р1 и р2 на концах трубы — роль  потенциалов: 
                              Qm = (р1—р2)/Rm = (р1—р2)Ym;  QpV = (р1—р2)/RpV = (р1—р2)YpV.                               Величины Rm или RpV выражают “сопротивление”, Ym и YpV —                              “проводимость” трубы.
         Задание 001.13. Получить выражения для сопротивления и проводимости                                трубы длины l и диаметра d. Вязкость газа равна h.
		 Ответ: YpV =1/RpV = (pr4/256 l)(p1+p2). В задачах об откачке                                часто можно пренебрегать p2 по сравнению с  p1.
         Задание 001.14. Получить выражение для производительности системы                                 труба — насос при откачке из объема, в котором давление равно                                 р0, насосом со скоростью откачки С.
                               Ответ: QpV = р0/(RpV  +1/C). Обратите внимание на аналогию с                                 замкнутой электрической цепью, где р0 — эдс, 1/C —внутреннее                                 сопротивление источника, RpV — внешнее сопротивление.                                 Аналогия   применима  и  к  сложным  системам  с     после-                                 довательным, параллельным или смешанным соединением труб.
	Задача     001.15. См. [17], задача 61. 
	Задание  001.16. См. [17], задачи 60, 62. (Обозначения: К=С,  w=Rm). 
	Задание  001.17. Построить примерный график откачки объема V=5 л насосом c                                  мощностью (скоростью откачки) С=10 л/мин. через трубу длины                                  l=1 м и  диаметра d=8 мм.  Рассмотреть 2 варианта: 1). Предельное                                  разрежение для насоса р∞=0,05 мм Hg. 2). р∞=0, но при р=0,05 мм                                  Hg наступает режим Кнудсена (см. [17], задача 60) для трубы.                                  Использовать при обсуждении результатов работы № 9 в I                                  физической лаборатории.
	Задание  001.18. См. [17], задачи 60, 62. (Обозначения: К=С,  w= RМ 		Задача    001.19. См. [17], задача 54,	
	Задача   001.20. Воздушный шар, описанный в [17], задача 54, у земли (при                                   р=р0=1атм, t=20°С ) заполняется 1) водородом, 2) гелием. Найти                                   подъемную силу. Замечание: Обратите внимание на слабое                                   влияние природы (легкого) наполняющего газа.	
		    Ответ: 1) 11800  Н,  2) 10900  Н.
Задача   001.21. Какое давление р будет наблюдаться на высоте, до       которой                          поднимется шар, рассмотренный в задаче 001.212? (При подъеме                        аэростата избыточный газ выходит через отверстие аппендикса                        внизу). Масса оболочки, строп и гондолы с экипажем — 950 кг.                          Примечание: в силу замечания к задаче 001.20, в уравнении для р                          можно пренебречь квадратичным членом.
	              Ответ: р = 0,8 р0.	
		Задача 001.22. Стратостат (аэростат с закрытым отверстием аппендикса),                                            имеющий оболочку объема 4000 м3, наполняется гелием до                                            объема 1000 м3, как описано в задаче 001.21. Масса оболочки,                                            строп и гондолы с экипажем — 950 кг.  Какое давления р  будет                                            наблюдаться на высоте, до которой поднимется                                            стратостат? Температура воздуха выше 10 км постоянна (-50°С). 
              Ответ: р= 0,145  р0.
	Задание 001.23.  См. [18],   задачи 2.11 “Найти”, 2.12 “Определить”.	
			
	Тема 2. (Из Пр. 20. Первое начало термодинамики.) 4Калорическое уравнение состояния идеального газа. (Из Пр. 8. Классическая теория теплоемкости идеального газа.) 3Результаты классической теории для внутренней энергии и теплоемкости CV.  
	Калорическое уравнение состояния выражает внутреннюю энергию как функцию объема и температуры. Для идеального газа справедлив закон Джоуля (на самом деле вытекает из (0.3), но пока примем его как независимый факт  пятый из эмпирических газовых законов):
	(Д) Закон Джоуля: внутренняя энергия зависит только от температуры, но не от объема. В дифференциальной форме, для n молей газа 
				     dU = n CV dT,	(0.9)
где CV  новый (третий, наряду, например, с KT и a) независимый термодинамический коэффициент, называемый молярной теплоемкостью при постоянном объеме: CV = (1/n)(U/T)V (проис-хождение названия выясним позже). Пользуются также удельной теплоемкостью при постоянном объеме cV = (1/m)( U/T)V. 
	Имея в виду единообразие обозначений, в этом курсе так называемые экстенсивные  переменные, т.е. величины, пропорциональныен количеству вещества, как масса m, объем V, число молекул N  или молей n, энергия U и т.п., всегда будут относиться ко всей системе, В учебниках часто те же обозначения применяются (разумеется, с соответствующей оговоркой в тексте) для молярных или удельных величин. При тщательно отредактированном тексте и для очень внимательного читателя это не должно приводить к недоразумениям, но по отношению к вашим конспектам лекций и экзаменационных ответов и к записям решений задач выполнение таких условий не вполне гарантировано (а обостренное внимание экзаменатора не всегда благожелательно). Поэтому здесь для молярных и удельных величин будут применяться явные обозначения V/n или V/m (=1/r), U/n или U/m. Отсюда приведенные выше определения CV  и  cV.
	При решении задач мы будем ограничиваться простейшими случаями, когда теплоемкость CV можно считать не зависящей от температуры и использовать (если в условии задачи не предложено иное) следующие значения:
	для газов с одноатомными молекулами: U = n·(3/2)RT,  CV = (3/2)R;
	для газов с двухатомными и линейными трехатомными молекулами:         U= n·(5/2)RT, CV = (5/2)R;
	для газов с нелинейными молекулами: U = n·3RT, CV = 3R.
	
		Задачи по теме 2.
		Задание 001.24. См. [17], задачи 109, 110
		Задача    001.25. См. [18], задача 2.28 “Два теплоизолированных” и [17], задача                                                  107.
		Задание 001.26. См. [18], задачи 2.33 “g=Cp/CV”, 2.34.

	Тема 3. (Из Пр. 20. Первое начало термодинамики.) 9Математическая формулировка первого начала в интегральной и дифференциальной формах.
	Предполагается знакомство с понятиями работы, теплоты и внутренней энергии из школьного курса (в дальнейшем будут даны более последовательные определения). Первое начало термодинамики, или закон сохранения энергии, в интегральной форме записывается, например, в виде
				       Q=ΔU+A 	(0.10)
и читается: “Теплота, полученная системой, идет на приращение внутренней энергии и на совершение работы против внешних сил”.
	Комментарии. Опыт показывает, что, выписывая этот закон на экзамене или при решении задач, учащиеся очень часто ошибаются в знаках. Частично виноваты в этом учебники, которые без достаточных оснований вводят, например, кроме (или вместо) A, работу внешних сил над системой A' = A. Рекомендованные здесь запись и словесная формулировка представляют собой,  по-видимому, наиболее удобную для запоминания (из всех алгебраически эквивалентных) форму закона. Выбор знаков, подразумеваемых в терминах для Q  и  A, однозначно задан исторически:  термодинамика создавалась как наука о тепловых двигателях. Знак ΔU=U2U1 , где индексы 1 и 2 относятся к начальному и конечному состояниям системы, лучше определяется словом “приращение”, а не “изменение”. Слова “идет на… и…”  не вполне адекватная математически замена слов “равна сумме… и…”, но зато придают формуле наглядный смысл; нежелательно только пользоваться ими, не выписывая одновременно формулу. Чисто алгебраические преобразования, например, A=QΔU, конечно, допустимы, но начинать следует всегда с основной формулы (0.10), и не стоит тратить силы на придумывание слов, описывающих преобразованную форму. (Вы, конечно, можете предпочесть в качестве основной формулы любую из ее преобразованных форм, экзаменатор не будет возражать, но только до первой ошибки.)
	Для бесконечно малого изменения состояния системы (0.10) записывается в дифференциальной форме:
				đQ = dU + đA	(0.11)
и читается: “бесконечно малое количество тепла, полученное системой, идет на приращение внутренней энергии и на совершение бесконечно малой работы против внешних сил”. 
	На самом деле при написанной формуле словесная формулировка может остаться точно той же, что и в случае уравнения (0.10): слова “бесконечно малое” можно опустить; но ограничиться одной только словесной формулировкой, без записи формулы, разумеется, нельзя. 
	Очевидно, что бессмысленно, по ложной аналогии с  ΔU, называть Q и A или đQ  и  đA “изменениями” теплоты и работы. Энергия есть функция состояния системы, которая, естественно, может изменяться; как говорят, “dU есть полный дифференциал”. Наоборот, теплота и работа имеют смысл в применении не к состоянию, а к процессу.  Поэтому в применении к Q и A не следует вместо знака đ, использованного в (0.11) и далее, применять операторный знак d, означающий “полный дифференциал”, или “приращение”. В литературе применяют еще знаки d  или D, но đ лучше, так как для бесконечно малых величин вообще общепринята буква d, а d  и D применяют и для конечных приращений. Заметим, что в руководствах высокого уровня по теоретической физике не перечеркнутый символ d,  вместо перечеркнутого đ в (0.11), применяется,  но на младших курсах это запрещено.
	Работа đA в задачах, введением к которым служит эта лекция,  это чисто механическая величина;  для газа или жидкости, подчиняющихся закону Паскаля (см. [16], § 891,2), при отсутствии массовых сил ([16], § 901,2)
  				           đA = pdV.	(0.12). При конечном изменении состояния
				      .	(0.13)
Здесь индексами 1 и 2 пронумерованы начальное и конечное состояния; в обозначении пределов интегрирования номера состояний указаны в скобках, чтобы не путать их с значениями переменной интегрирования V. На диаграмме V  р  |A12| изображается площадью под кривой зависимости р от V ; знак A12 при однозначной зависимости совпадает со знаком V2V1, а для кругового процесса  знак A определяется направлением обхода цикла (A>0 при обходе по часовой стрелке).
	При решении задач разумно пользоваться для всех членов в (0.10) обозначениями, подобными введенным в (0.13): 
				Q12= DU12+A12=U2U1+A12.	(0.14)
		
	Тема 4. (Из Пр. 21. Равновесные процессы в идеальном газе). 2Теплоемкость как характеристика процесса. 3Изохорная (CV) и изобарная (Cp) теплоемкости, соотношение Майера между ними.
	Для применения закона сохранения энергии (0.10) очень полезно использовать вспомогательные величины, называемые теплоемкостями. Они определяют связь между бесконечно малой теплотой, полученной системой, и повышением ее температуры:
				       .	(0.16)
[Формула (0.15) вводит молярные теплоемкости, аналогично можно вводить и удельные величины, c=(C/М).] Любому процессу (который должен быть задан каким-то уравнением, наложенным на изменения переменных), соответствует своя величина теплоемкости.
	Рассмотрим изохорный процесс, V=const. Вычисляя đQ из (0.10) и пользуясь термическим и калорическим уравнениями состояния, находим для этого случая C=CV. Это и оправдывает введенное формулой (0.9) обозначение и название для величины CV = (1/n)(U/T)V.
	Для изобарного процесса, V=const., уравнение (0.16) определит теплоемкость при постоянном давлении, которую обозначают Cp. Аналогичное вычисление дает формулу Майера
				           Cp CV=R	(0.17)
(только для идеального газа!  позже вы получите формулу, справедливую для любой среды).
	Величины  CV  и  Cp называют главными теплоемкостями; часто используют также величину их отношения
				            Cp / CV = g. 	(0.18)
	Заметим, что Cp можно записать в форме, аналогичной определениям других термодинамических коэффициентов: nCp=([U+pV]/T)p. С названием и свойствами величины в квадратных скобках мы познакомимся позже. 
	В учебнике [1] при изложении некоторых вопросов, касающихся идеальных газов для общности используются формулы, допускающие учет зависимости CV от Т: В нашем курсе везде (включая экзамен) для упрощения разрешается полагать  CV =const., т.е.  
                    	              .     	(0.15)     
	Тема 5. (Из Пр. 21: Равновесные процессы в идеальном газе). 3Дифференциальное уравнение адиабаты и его интегрирование: уравнения Пуассона. 4Понятие о политропе. Для рассмотрения процессов в теплоизолированном объеме газа достаточно положить в дифференциальном законе сохранения энергии (0.10) đQ=0. Вместе с дифференциальным уравнением состояния (см. задачу 1.3) для m=const. он образует систему из двух линейных однородных уравнений для трех переменных  дифференциалов  dV, dp, dT. Исключив из этой пары уравнений какой-либо один дифференциал и, кроме того, исключив (если надо) из всех коэффициентов при дифференциалах также и соответствующую ему саму переменную с помощью интегрального уравнения состояния (0.3) или (0.3а), мы получим дифференциальное уравнение, описывающее адиабатический процесс. Оно относится к классу уравнений первого порядка с разделяющимися   переменными и легко интегрируется. В зависимости от того, какой из дифференциалов dV, dp или dT был исключен из исходной пары уравнений, результат будет получен в одной из трех форм:
		  pV g = const;     V g1/T = const;      p(g1)/ gT = const.	(0.19)
Первое из этих уравнений называется уравнением Пуассона. 
	Получив результат в одной из трех форм (0.19), следует научиться получать другие формы, комбинируя его с уравнением состояния pV/T=const.
	Политропными называют процессы, в ходе которых теплоемкость С (0.16) остается постоянной. Уравнения политропы получают так же, как уравнения адиабаты, но в (0.10) подставляют đQ=nCdT. Повторение вычислений по описанной схеме ведет к уравнениям вида (0.19), но с заменой g на
				n=(CpС)/(CVС). 	(0.20)
Любое из найденных так уравнений может служить альтернативным определением политропы. Постоянные n и g часто называют показателями политропы и адиабаты соответственно.
	В отличие от адиабат, которые представляют собой важный класс процессов, политропы интересны для приближенных теплотехнических расчетов, а также для “генерирования” многих полезных учебных задач.

		Задачи по темам 3 — 5. 
		Задание 001.27. См. [17], задачи 7477, 8083, 99, 100, 103106, 109115.                                         Задача 82 входит в  экзаменационные вопросы. 
		Задание 001.28.  См. [17],   задачи 8598, 116, 117, 119, 130135, 64.
		Задание 001.29:  Дополнить   данные   для  U  и  CV   для  простых                                                cлучаев, приведенных в конце темы 2, значениями                                               отношения теплоемкостей  g.
		Задание 001.30.  См. [17],   задачи 8598, 116, 117, 119, 130135, 64.
		Задание 001.31.  См. [18 ],   задачи 2.13 “Высокий”—2.20 57Горизонтальный,                                          2.28 “теплоизолированные баллоны”2.41 “Внутри”, 2.4                                          “V=a/T”—2.56 “C=a/T”.
		Задача 001.32. Один моль идеального газа с показателем адиабаты   совершает                                        процесс р=р0-аV, где р0=10 атм, а=1атм/л. Найти молярную                                        теплоемкость  в этом процессе. Построить график.C=f( V).
	
Тема 6. (Из Пр. 21: Равновесные процессы в идеальном газе). 5Адиабатические сжимаемость и модуль объемного сжатия. 6Скорость звука—формулы Ньютона и Лапласа.
	Возвращаясь к описанию свойств газа в условиях тепловой изоляции (см. тему 5), определим еще два термодинамических коэффициента  адиабатический модуль объемной упругости и адиабатическую сжимаемость
			;         bад=1/Kад .	(0.21)
Для их вычисления можно повторить вычисления, выполненные при выводе уравнений адиабаты (0.19), либо просто продифференцировать уравнение Пуассона. Подробности см. в [1], § 23; [2], § 115. Результат, справедливый только для идеального газа, имеет вид:
				            Kад=pg.	(0.22)
Позже мы покажем, что это частный случай вполне общей формулы 
				           Kад=KТ g.	 (0.23)
	Формулы (0.22), (0.23) важны, прежде всего, для вычисления скорости звука.	См. в [1], § 23; [2], § 115; [17], § 85 изложение этой проблемы, включая ее историю. Однако в этих книгах нет детального доказательства основного утверждения, что деформация в звуковой волне в обычных условиях является адиабатическим процессом. Такое доказательство будет дано в нашем курсе позже, при рассмотрении макроскопических уравнений переноса.
	Ньютон считал cзв=(KТ/r)1/2. Верная формула для газа в обычных условях дана Лапласом: cзв = (Kад/r)1/2 .
			  
		Задачи по теме 6. 
	Задача 001.33. Найти скорость звука в смеси 50%  He + 50% O2 (по массе)  
                             при 100 оС.
	Задание 001.34. См. [17], задачи 138145.

	Тема 7. (Из Пр. 22: Энергетический баланс при равновесных процессах и циклах в идеальном газе). 5Работы, теплоты и изменения энергии при иэохорном, изобарном, изотермическом, адиабатическом процессах. 6Циклические процессы. 7Равновесный цикл Карно с идеальным газом. 8Машина Карно как двигатель, холодильная машина, {тепловой насос}: коэффициенты полезного действия. {9Выгодность динамического отопления. }
	В задаче 001.35 к этой теме предлагается самостоятельно получить формулы, для работ, теплот и изменений внутренней энергии в основных процессах с идеальным газом (вывод требуется для экзамена!). 
	Круговым называют процесс, в котором начальное и конечное состояния совпадают; его называют также циклом. Чрезвычайно важное теоретическое значение имеет цикл из двух изотерм и двух адиабат, предложенный Карно. См. [1], §301;, [2], § 69, 70, 73 (до рис. 174) .
	Циклы, образованные из равновесных, т.е. обратимых процессов (см. [1], § 11; [2], § 69), обратимы. Следует различать прямой цикл, или цикл двигателя (на диаграмме V — р он обходится по часовой стрелке), и обратный цикл, или цикл холодильной машины (против стрелки). В любых тепловых машинах (ср. [2], § 74) различают 1) рабочее тело, термодинамическое состояние которого собственно и изменяется в циклическом процессе, 2) нагреватель, от которого это тело в прямом цикле получает тепло (имея в виду также и анализ обратных циклов, мы будем чаще называть его “горячим” тепловым резервуаром  —обозначение “н” или  “гор”), и 3) холодильник (или “холодный” тепловой резервуар, обозначаемый “х” или  “хол”). Кроме того, предполагается участие внешних тел, над которыми рабочее тело совершает положительную или отрицательную работу. Вводятся три коэффициента полезного действия: hдв., hт.н., hхол., определяемые в каждом случае как  отношение полезного энергетического эффекта к затратам. Для двигателя (“дв.”) полезным эффектом будет работа, совершаемая над внешними телами, а затратой — тепло, взятое от горячего резервуара. Для теплового насоса (“т.н.”) полезный эффект — это тепло, отданное горячему резервуару, а для холодильной машины “хол.” (в узком смысле: холодильной машиной в широком смысле называют любое устройство, совершающее обратный цикл, см. выше), или холодильника — тепло, отнятое у холодного резервуара. Затратой в обоих последних случаях является работа, совершенная внешними телами над рабочим телом (-А, если А — работа совершенная последним).
	При решении задач важно во всех случаях строго придерживаться единой системы обозначений, ориентированной на рабочее тело: тепло, получаемое этим телом должно во всех случаях обозначаться Q, отдаваемое — -Q , совершаемая им работа  — А, работа совершенная над ним — -А.  Koэффициенты полезного действия во всех полезных машинах должны быть положительными, но в даваемых здесь искусственных задачах могут оказываться отрицательными; конечно, всегда hдв <1 (потери энергии неизбежны), но для других кпд подобных общих правил не существует. (См. однако задачи 001. 41 и 001.42).
	Коэффициенты полезного действия тепловых машин вычисляются по следующим формулам:
	а) прямой цикл:
				                                    (0.24)
	б) обратный цикл:
                                           	                                  (0.25)
			                	                              (0.26)
  	Комментарии. В формулах (0.24) — (0.26):
      Aik и Qik — работы и теплоты прямого цикла, 
      A'ki и Q'ki — работы и теплоты обратного цикла, 
	Двойными индексами ik  и  ki  обозначены процессы, из которых        состоит цикл;
   	i и k  — номера точек, между которыми проходит процесс  ik       (i=1,2,…,  k= i+1; если i — последняя точка цикла, то k=1) .  
            Для правильной расстановки верхних индексов “хол” и “гор” в обратных циклах следует нарисовать эти циклы (отдельно для вычисления hт.н. и для вычисления hхол.) и около каждого процесса поставить обозначение, например Q'43= —1200 Дж (величина должна быть предварительно вычислена) и стрелку, указывающее направление теплопередачи (к циклу для Q'ki>0, от цикла для Q'ki<0); у наружного конца стрелки написать “хол” или “гор”, учитывая, что тепло может перетекать от горячего тела к холодному, но не наоборот; там, где возможны оба направления  (для изотерм), следует ориентироваться на назначение цикла. После этого записывается вычисление в форме, например:
                                                 
При этом до фактического вычисления результата (число) не следует преобразовывать выражение по алгебраическим правилам: величины Q'ki должны сохранять свои знаки. 

		Задачи по теме 7. 
	Задача 001.35. Получить формулы, приведенные в таблице:
				Изохора V=const	Изобара p=const	Изотерма T=const	Адиабата đQ=0	Политропа C=const	
A/n	         0	   p(V2 V1)	  RT ln (V2/ V1)	(U1 U2)/n	(CСV)(T2 T1)	
Q/n	 СV(T2 T1)	 Сp(T2 T1)	           А	          0	   С(T2 T1)	
(U2 U1)/n	 СV(T2 T1)	 СV(T2 T1)	            0	СV(T2 T1)	  СV(T2 T1)	

						

	Задача   001.36. Заполнить   нижние  строки таблицы вариантами тех же  формул с                                  использованием других переменных. 
	Задание 001.38. Для циклов, рассмотренных в [17], задачи 161174, вычислить кпд                                   двигателя, холодильной машины и теплового насоса.
	Задание 001.39. Для циклов, рассмотренных в [18], задачи 2.1162.127 (рис.2.2, 2.3),                                   вычислить  кпд  двигателя, холодильной машины и теплового насоса.
	Задание  001.40. Дополнить процесс, описанный в задаче 001.32, изотермой,                                   проведенной через точку 01 л. Для полученного цикла                                   вычислить работы и теплоты на отрезках между характерными                                   точками. Вычислить кпд двигателя, холодильной машины и теплового                                   насоса, работащих по этому циклу.
	Задача   001.41. Доказать соотношение  hт.н.—hхол.= -1.
	Задача  001.42. Для цикла Карно выразить hт.н.и hхол. через hдв.,(не применять для                                   других циклов!)