Лекция 03. 
Л и т е р а т у р а  к курсу лекций.
А. Программа МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. (Рабочая программа курса "Общая физика".       Aннотированная. 2002 / 03 уч. г. Часть 2.)
     (Ссылки на программу и заголовки вопросов даются в формате: {Пр. m. S.} nQ, где      m  № раздела, S  заглавие раздела, n  № вопроса, Q  вопрос. В скобках {}       необязательные части ссылки.)

Б. Руководства. Список из программы А, не сокращенный для лекций. (Ссылки даются в  	формате: [№]: §§ №, №.)

[1]. Сивухин Д.В. Общий курс физики, Т. II. Термодинамика и молекулярная физика. М.,         1975‚… 2002.
[2]. Фриш С.Э., Тиморева А.В. Курс общей физики, T. I . М., 1962 и 2006 (более                                       ранние  другая     нумерация параграфов).
[3]. Молекулярная физика жидкостей в курсе общей физики. (Соловьев В.А.), Л., 1983,              2004.
[4]. Соловьев В.A.‚ Aджемян Л.Ц.‚ Фриш М.С. Избранные вопросы молекулярной физики.       1. Методы термодинамических преобразований. 2. Растворы. СПб‚ 1999. 
[5]. Кикоин И.К., Кикоин А.К. Молекулярная физика. М., 1976.
[6]. Матвеев А.Н. Молекулярная физика. М., 1971.
[7]. Рейф Ф. Статистическая физика. М., 1977.
[8]. Фейнмановские лекции по физике. Т.4, М., 1965.
[9]. Ландау Л.Д., Ахиезер А. И., Лифшиц Е.М. Курс общей физики. (Механика и             молекулярная физика). М., 1965.
[10]. Де Бур Я. Введение в молекулярную физику и термодинамику. М., 1962.
[11]. Кричевский И.Р. Понятия и основы термодинамики. М., 1970.
[12]. Поль Р.В. Механика, акустика и учение о теплоте. М., 1973.
[13]. Конспект лекций по физике для студентов физического факультета ЛГУ                (Молекулярная физика и термодинамика). (Толстой Н.А.). Л., 1966.
[14]. Методические указания по общему курсу физики (некоторые вопросы               термодинамики). (Спартаков A.A.‚ Толстой Н.A.). .Л.‚ 1990.
[15]. Хуанг К. Статистическая механика. 1964.
[16]. Сивухин Д.В. Общий курс физики.  Т. 1. М.‚ 1974   2002.
[17]. Сивухин Д.В. (редактор). Сборник задач по общему курсу  физики.   Термодинамика  	и  молекулярная физика.  М.‚ 1976.
[18]. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. М., 1979. (В более поздних изданиях изменены    номера многих задач. В ссылках вида “[18], задача №…” будут даваться также (в          кавычках) ключевые  слова или формулы для поиска задачи по новым изданиям.)

ГЛAВA 3. идеальный газ из жестких сферических молекул: Равновесное распределение молекул по скоростям — распределение максвелла.
	Из программы: 0Предварительные указания. 1Распределение Максвелла по вектору скорости: рабочая формула. 2Основные свойства равновесного распределения молекул по скоростям: 3максимальная хаотичность, 4изотропность, 5-6статистическая  независимость ортогональных  компонент  скорости, 7-9 инвариантность по отношению к парным упругим столкновениям. (8Принцип детального равновесия). 10-13Распределение Максвелла для вектора скорости и 13для абсолютного значения скорости: окончание вывода и исследование. 14Универсальность распределения Максвелла.
Литература: [1]: §§  82, 74‚ 72, 73; [2]: § 50.3	
	0Предварительные указания. В этой главе решаются две задачи: 1) находится вид функции распределения молекул по скоростям n(), соответствующий условию термодинамического  равновесия,  распределения Максвелла; 2) устанавливаются основные математические свойства этой функции. Некоторые из свойств вытекают из  независимых физических соображений, и среди них можно выбрать достаточные для решения первой задачи; другие  находятся из математической формы найденной функции распределения как необходимые следствия. Как обычно, вторая задача технически проще; в ответе на экзамене Вы можете ограничиться этой второй задачей  для всех свойств, кроме тех, которые Вы выберете для вывода функции распределения. (Исключение составляет свойство , которое не доказывается исходя из вида n(); если этот вид установлен Вами на основании других свойств, то допустимо ограничиться формулировкой свойства  без доказательства, т.е. без вычислений, следующих за формулой (3.4).)
	Свойства распределения Максвелла в этой главе пронумерованы (независимо от нумерации подпунктов программы вида 1-15), и номера тех свойств, которые могут быть использованы для вывода распределения, снабжены значками. Значком вида  обозначается номер свойства, которого достаточно для вывода. Значки вида  и  используются для этой же цели попарно. Номерами в квадратных скобках ([№] без стрелки) обозначаются свойства, не используемые в выводах. 
	Для вывода формы функции распределения Вы можете, по вашему выбору, использовать либо свойство , либо пары свойств   или . Любой из этих трех путей приведет к формуле (3.2),  и после того, как она выведена Вами (но только после этого!), ее можно будет использовать на экзамене для доказательства других свойств распределения.     
	Указанное в заголовке главы ограничение простейшим случаем газа из жестких сферических молекул существенно только для одного из излагаемых методов вывода равновесного n(). Действительная область применимости распределения Максвелла (и тесно связанных с ним распределений Больцмана и Гиббса), как мы увидим, неизмеримо более широка;  именно поэтому мы приводим для него  несколько выводов. В следующих главах, при рассмотрении свойств n(), мы будем, по возможности, указывать, для каких объектов можно считать данное свойство достаточным для нахождения этой функции. 
	Вам  следует  иметь в виду, что вид распределения Максвелла  это одна из немногих вещей в физике, которую необходимо твердо знать наизусть: умения вывести его для экзамена недостаточно. Имея это в виду, мы будем неоднократно приводить его в различных эквивалентных формах. 
	Всестороннее изложение вопросов, связанных с выводом распределения Максвелла в окончательной форме занимает в нашем курсе несколько глав (гл. 26). Имея в виду как можно раньше начать решение задач на семинарах, мы сейчас заранее приведем его в форме, наиболее полезной и удобной для запоминания.
	1Распределение  Максвелла по вектору скорости: рабочая формула. Окончательный вид равновесного распределения по скоростям, который следует твердо помнить (наизусть!) и который  понадобится вам при решении задач: 
		(3.1)
(либо эквивалентные выражения для функций (2.1),  (2.2)). Здесь  m  масса молекулы, Ек  ее кинетическая энергия, Т  абсолютная  температура, k = 1,38·1023 Дж/К  = 1,38·1016 эрг/К    постоянная Больцмана (наиболее точное современное значение k см. в [1], § 62). Вместо m/k удобно бывает использовать M/R, где M   молярная масса, R = 8,31 Дж/моль/К = 1,98  кал/моль/К  универ-сальная газовая постоянная (точнее [1], § 6).
	В этой главе будет установлен только вид функциональной зависимости  и от u и Ек:					,		(3.2)
а подразумеваемые в (3.1) выражения для постоянных a и b (вводимых здесь для удобства и краткости записи), будут найдены в дальнейшем (гл. 5, 6). (Обозначение  b = 1/kT имеет смысл запомнить   оно часто встречается в литературе.) Выражение для А через a будет найдено ниже (п. 311) из условия нормировки; помнить его наизусть необязательно, его вывод легко воспроизводится. 
	2Основные свойства равновесного распределения по скоростям:
см. пп. 3 ― 13.   
	3Свойство: максимальная вероятность (максимальная хаотичность). Как уже говорилось, форма распределения молекул по скоростям есть, по существу, макроскопическое свойство, и в соответствии с аргументацией, приведенной в гл. 1, интерес представляет его наиболее вероятная форма. 
	В гл. 1 мы уже упоминали понятие вероятности макроскопического состояния (ее более полное название  термодинамическая вероятность): это (с точностью до несущественного множителя) — число возможных микросостояний, которые соответствуют данному макросостоянию системы. Последнее в нашем случае характеризуется набором чисел молекул, имеющих всевозможные скорости. В соответствии с аргументами, приведенными в гл. 2, речь может идти только о числах молекул, скорости которых принадлежат к элементарным ячейкам пространства скоростей; ячейки мы пронумеруем, т.е. введем дискретный набор переменных 
			     Nj = dN      (j=1,2,3,…;).	(3.3)
В рамках классической механики мы не можем указать никакого правила для выбора размеров ячеек . Квантовая механика дает такое правило (оно сводится к тому, что одному квантовому состоянию соответствует в шестимерном пространстве координат и импульсов {} фазовый объем =h3, где h  постоянная Планка); для нас достаточно указать, что ячейки должны иметь одинаковые объемы, так что индекс j  у будем в дальнейшем опускать.
	Микросостояние определяется скоростями  всех молекул, т.е. их распределением по скоростным ячейкам. Чтобы найти термодинамическую вероятность Wт макросостояния с заданным набором {Nj}, учтем, что общее число перестановок N! всех N молекул между ячейками может быть выражено следующим образом. Сначала поместим в каждую ячейку по Nj молекул; это можно сделать Wт способами. Далее в каждом из Wт микросостояний произведем взаимные перестановки молекул в ячейке № 1 получим WтN1!  микросостояний; в каждом из них  перестановки в ячейке № 2  получим WтN1!N2! микросостояний, и т.д. Итак, общее число перестановок, откуда:  
			              Wт = 		(3.4)
Во втором выражении здесь было использовано приближение Стирлинга , справедливое для больших Z; множители  в числителе и знаменателе сокращаются. 
	Напомним, что когда общее число молекул очень велико, то и числа Nj можно считать большими; поскольку распределение по скоростям не зависит от размера системы (если не считать того, что в системе с ограниченной общей энергией должна быть понижена вероятность появления очень больших скоростей), мы всегда можем выбрать N  достаточно большим, чтобы не заботиться о выполнении приближения Стирлинга для всех Nj кроме, возможно, самых малых, неточность вычисления которых не повлияет на общее распределение. Заметим еще, что в формуле Стирлинга (см. курс математического анализа) мы пренебрегаем, учитывая дальнейшее, отличием от 1 множителя, логарифм которого мал по сравнению с lоgN и lоgNj; это приближение бывает справедливо почти всегда. 
	В гл. 1 были приведены соображения, позволяющие предполагать, что возможные значения макроскопических переменных должны лежать в очень узкой области вокруг наиболее вероятных значений; это относится и к переменным Nj в достаточно большой системе. Если их значения заметно отличаются от наиболее вероятных, то при молекулярных процессах, ведущих к их изменению (в газах это столкновения, а также ускорения во внешних полях; в жидкостях и твердых телах  ускорения под действием межмолекулярных сил), будут преобладать те, которые ведут к увеличению Wт. В результате Wт будет стремиться к максимальному возможному значению. 
	Последнее справедливо, если газ находится в постоянных внешних условиях. Максимальное значение Wт будет при этом соответствовать состоянию термодинамического равновесия. Уравнение, которое описывает изменение набора {Nj} в газе в общем случае (наличие внешних воздействий, неравновесное состояние) было построено Л. Больцманом. 
	Итак, равновесное состояние газа при постоянных внешних условиях соответствует максимуму Wт, как и сказано в заглавии этого раздела. Остается найти значения Nj, отвечающие этому условию. Эту чисто математическую задачу можно не излагать на экзамене, если вид функции уже найден Вами одним из других методов, 
	Вместо максимума Wт удобно будет искать максимум функции
			=.	(3.5)
Здесь пока вместо N написано явное выражение , поскольку при поиске максимума предполагается дифференцирование по всем Nj.
	Задача нахождения экстремума функции многих переменных решается в принципе так же, как для функции одного аргумента, но в нашем случае имеется усложнение: аргументы Nj не независимы, а связаны уравнениями, выражающими условия, в которых находится газ. Мы будем рассматривать изолированную систему, для которой справедливы следующие уравнения связей:
		        = N              или             X ≡  N = 0;		(3.6)
		=Еполн.,           или .	(3.7) 
Задача нахождения экстремума при наличии связей (“связанного”, в отличие от “свободного”  т.е. без наложенных связей) решается методом неопределенных множителей Лагранжа. Обоснование метода будет дано в курсе математического анализа; мы ограничимся чисто техническим изложением. (Обоснование, данное в [1], лучше пропустить, оно не вполне удовлетворительно.)
	Составим вспомогательную функцию 
				L1 = L ± dХ ± aY,		(3.8) где	d и a  неопределенные параметры, которые нужно будет найти позже, исходя из других свойств распределения; перед d и a  мы будем выбирать знак  , что в дальнейшем окажется удобнее. Лагранж показал, что  условие связанного экстремума для функции L совпадает с условием свободного экстремума для L1: должны обращаться в нуль частные производные от L1  по всем переменным Nm:	
			= 0              (m = 1,2,3,…).	 	(3.9)
(В обозначении частных производных применяется символ дифференциала   вместо обычного d; кроме того, обозначение производной заключается в скобки, и при них в виде нижнего индекса указывается список переменных, которые при дифференцировании считаются константами).	
	Подставляя (3.3)  (3.8), получим
		= 	(3.10)
(Здесь результат дифференцирования записан без приведения подобных членов, чтобы легче было следить за преобразованиями; слагаемые 1 и  +1 возникли в результате дифференцирования логарифмических множителей в (3.5); выражениетеперь можно будет опять обозначить N .) 
	Приравнивая выражение (3.10) нулю, получим уравнение для наиболее вероятного значения Nm,; в соответствии с аргументацией, приведенной в гл. 1, будем обозначать его , как среднее значение. Введем также вместо d новую постоянную A. Тогда получим:
				,		(3.11) 
или, возвращаясь к исходным обозначениям:
		,	(3.12)
т.е. (3.2).
	Мы получили (3.12), используя для L условие экстремума, а не конкретно максимума. Исследование знака  второй производной от L1 не представляет труда; его разрешается не проводить. Заметим, что такое исследование часто удобно заменять вычислением исследуемой функции на границах интервала возможных значений аргументов; в случае нашей функции L такими границами являются   Nj=N для одного из j, Nj=0 для остальных; это ведет к L=0. Остается показать неотрицательность L  в общем случае, что делается достаточно просто.
	В заключение приведем еще раз, в более компактной форме,  выражения (3.4), (3.5) для термодинамической вероятности Wт распределения по дискретному набору состояний {j} и ее логарифма:
		 Wт;       ln Wт.	(3.13)
Формулы (3.13) часто применяются в статистических теориях.
	4Свойство : изотропность. Поскольку в пространстве все направления равноправны, равновесная функция распределения по скоростям может зависеть только от модуля вектора , но не от его направления. Найденная из условия максимальной хаотичности функция (3.2) действительно обладает этим свойством.
	Может показаться, что изотропной обязана быть функция распределения по скоростям только в изолированной системе: наличие поля внешних сил нарушает изотропность пространства и могло бы привести к зависимостиот направления вектора. Ниже мы увидим, что этого не происходит  потенциальное поле не нарушает изотропности равновесного распределения по скоростям. В неравновесных состоянияхможет зависеть от направления.
	5Свойство : взаимная  независимость  частных распределений для ортогональных компонент скорости. Как говорилось в гл. 2, распределение вектора скорости есть совместное распределение его компонент. Учитывая, что u2 = ux2 + uy2 + uz2, мы видим, что плотность вероятности (3.2) для вектора  распадается на произведение трех функций, одинаковых по форме:
	 ,	(3.14)
где А1 = А1/3  (по аналогии можно для единообразия вместо А писать А3). В гл.2 было показано также, что три функции в правой части (3.14) имеют смысл  плотностей вероятности для ux, uy и uz, что и было учтено здесь в их обозначении (буква w). Как мы знаем, возможность представить в виде  означает, что величины ux, uy и uz  статистически независимы.
	4 ― 5Вывод равновесного распределения из свойств и. Если свойство постулируется из независимых соображений, то в силу соображений, приведенных в гл. 26, можно написать: 
				,		(3.15)
где ,  и  неизвестные функции; вектормы, как и в гл. 26, для сокращения записи формул считаем двумерным; для трехмерного вектора все дальнейшие детали вывода сохраняются. В силу свойства , независимое обоснование которого приведено выше в  пункте 4, можно утверждать что эти три функции имеют вид:
			=F(u), = G(x),  = G(z) ,		 (3.16)
где x=, z=,  u=u2, причем, согласно теореме Пифагора, u2 = +, т.е. u=x+z. 
	Уравнение (3.15) относится к классу функциональных уравнений. Для его упрощения полезно будет ввести вместо F и G новые неизвестные функции f = ln F,   g = ln G. Теперь имеем вместо (3.15):
			   g(x) + g(z) = f(u),       если     u = x + z .		(3.17)
Решение (т.е. вид функций g и f ) легко угадывается и проверяется подстановкой; такой метод вполне допустим и его применение на экзамене не поведет к снижению оценки (хотя он может вызывать у вас возражение с эстетической точки зрения), но его недостатком является то, что для уравнений такого вида мы не знаем, имеет ли место теорема о единственности решения. Мы знаем такую теорему для дифференциальных уравнений. Поэтому полезно будет попытаться преобразовать функциональное уравнение (3.17) в дифференциальное. Почленно дифференцируя первое из равенств (3.17) по х и по z, имеем:
			          g'(x)=f '(u)(u/x)z;     g'(z)=f '(u)(u/z)x.	(3.18) 
(Напомним, что (u/x)z, например,  это частная производная от u  по x, вычисляемая при постоянном z.) Согласно (3.17), (u/x)z = (u/z)x = 1. Таким образом, (3.18) дает g'(x)=g'(z). Но если две функции от разных переменных тождественно равны между собой, то они могут быть только постоянными. Обозначим их общее значение a:
 				   g'(x) = g'(z) = a.		(3.19)
Интегрируя, находим: 
			         h(x) = d  ax,   g(z) = d1  az 		(3.20)
(причем d1 = d, поскольку условие изотропности требует, чтобы функции  и   были одинаковы не только по форме, но и по значениям констант. (Сходным образом находится и функция f(u), но она нам не понадобится). 
	Итак, мы нашли вид частной (одномерной) функции распределения
			  w(ux) = exp h(x) = exp (d  ax) = ,   	(3.21)
и аналогично для w(uy),  w(uz). Здесь A1 = exp d  новая константа, подлежащая, как и  a, определению в дальнейшем.
	Плотность полной вероятности равна
  			   .		(3.22)
В дальнейшем вместо A13 мы будем писать A3 или просто A, как в (3.2).