Лекция 6.
ГЛAВA 6. идеальный газ из жестких сферических молекул: ТЕРМИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ идеального газа.
Л и т е р а т у р а  к курсу лекций.
А. Программа МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. (Рабочая программа курса "Общая физика".       Aннотированная. 2002 / 03 уч. г. Часть 2.)
     (Ссылки на программу и заголовки вопросов даются в формате: {Пр. m. S.} nQ, где      m  № раздела, S  заглавие раздела, n  № вопроса, Q  вопрос. В скобках {}       необязательные части ссылки.)

Б. Руководства. Список из программы А, не сокращенный для лекций. (Ссылки даются в  	формате: [№]: §§ №, №.)

[1]. Сивухин Д.В. Общий курс физики, Т. II. Термодинамика и молекулярная физика. М.,         1975‚… 2002.
[2]. Фриш С.Э., Тиморева А.В. Курс общей физики, T. I . М., 1962 и 2006 (более                                       ранние  другая     нумерация параграфов).
[3]. Молекулярная физика жидкостей в курсе общей физики. (Соловьев В.А.), Л., 1983,              2004.
[4]. Соловьев В.A.‚ Aджемян Л.Ц.‚ Фриш М.С. Избранные вопросы молекулярной физики.       1. Методы термодинамических преобразований. 2. Растворы. СПб‚ 1999. 
[5]. Кикоин И.К., Кикоин А.К. Молекулярная физика. М., 1976.
[6]. Матвеев А.Н. Молекулярная физика. М., 1971.
[7]. Рейф Ф. Статистическая физика. М., 1977.
[8]. Фейнмановские лекции по физике. Т.4, М., 1965.
[9]. Ландау Л.Д., Ахиезер А. И., Лифшиц Е.М. Курс общей физики. (Механика и             молекулярная физика). М., 1965.
[10]. Де Бур Я. Введение в молекулярную физику и термодинамику. М., 1962.
[11]. Кричевский И.Р. Понятия и основы термодинамики. М., 1970.
[12]. Поль Р.В. Механика, акустика и учение о теплоте. М., 1973.
[13]. Конспект лекций по физике для студентов физического факультета ЛГУ                (Молекулярная физика и термодинамика). (Толстой Н.А.). Л., 1966.
[14]. Методические указания по общему курсу физики (некоторые вопросы               термодинамики). (Спартаков A.A.‚ Толстой Н.A.). .Л.‚ 1990.
[15]. Хуанг К. Статистическая механика. 1964.
[16]. Сивухин Д.В. Общий курс физики.  Т. 1. М.‚ 1974   2002.
[17]. Сивухин Д.В. (редактор). Сборник задач по общему курсу  физики.   Термодинамика  	и  молекулярная физика.  М.‚ 1976.
[18]. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. М., 1979. (В более поздних изданиях изменены    номера многих задач. В ссылках вида “[18], задача №…” будут даваться также (в          кавычках) ключевые  слова или формулы для поиска задачи по новым изданиям.)

	Назначение данной главы  уточнение некоторых вопросов, стандартное изложение которых в руководствax по общей физике не вполне удовлетворительно. Для их ясного понимания желательно познакомиться с более глубоким подходом, хотя  изложение на экзамене может быть целиком построено на руководствах [1], [2] (или любых других учебниках университетского уровня); расхождение с изложением, предлагаемым в данной главе, не будет считаться ошибкой. Для подготовки к экзамену главой 6 можно не пользоваться.	
	Содержание гл. 6 согласно Рабочей программе курса: 
	Уравнение состояния идеального газа. 1Эмпирические газовые законы и уравнение Клапейрона-Менделеева. 2Молекулярная модель идеального газа и область ее применимости. {3Тензор напряжений как плотность потока импульса. 4Вычисление тензора напряжений}. 5Давление в равновесном газе: основное уравнение кинетической теории и уравнение состояния, законы Дальтона и  Авогадро.

Читать: [1], §§ 4, 7, 58, 59;  [2], §§ 43  46; [17], § 74.
	0Уравнение состояния идеального газа: предварительные замечания к гл. 6. В этой главе, как и часто в дальнейшем, микроскопические (молекулярные) представления будут использованы для теоретических выводов, касающихся макроскопических свойств вещества. При этом придется пользоваться терминологией, принятой в макроскопической термодинамике. При первом знакомстве с содержанием данной главы будет, как правило,  достаточно интуитивного или основанного на курсе средней школы понимания используемых терминов и понятий, таких, как “равновесное состояние”, “макроскопические величины”, “уравнение состояния”, но на экзамене от Вас могут потребовать объяснений, демонстрирующих основательное знание принципов термодинамики, которые будут детально изучаться позже (см. ч. V, гл. 1821). 
	1Эмпирические газовые законы и уравнение Клапейрона-Менделеева. Согласно термодинамическому определению идеальный газэто система, которая в широкой области изменения параметров состояния подчиняется четырем “эмпирическим газовым законам” (см. лекцию 001, тему 1) или обобщающему их уравнению состояния Клапейрона  Менделеева (0.3), (0.3а). 
	Замечания. 1. На экзамене следует обязательно продемонстрировать отработанную путем решения задач технику получения (0.3), (0.3а) из эмпирических законов, не ограничиваясь простой обратной задачей; указания см. в задаче 1.1 к лекции 001.  
	2. Упоминать в качестве пятого эмпирического свойства, определяющего понятие “идеальный газ”, закон Джоуля (лекция 001, тема 2), формально говоря, не обязательно, но следует предвидеть, что экзаменатор может попросить показать его связь с уравнением (0.3)вычислить (U/V)T.
	3. Понятие “идеальный газ” является идеализацией: свойства реально существующих газов  подчиняются уравнениям (0.3), (0.3а) не вполне точно, а область их приближенной применимости всегда ограничена. На экзамене следует, основываясь на дальнейших разделах курса, продемонстрировать знание того, какие отклонения от свойств идеального газа и, в частности, какие агрегатные состояния возникают за пределами этой области .
	2Молекулярная модель идеального газа и область ее применимости. Во многих руководствах в качестве исходной молекулярной модели идеального газа называют разреженный газ жестких (идеально упругих) сферических частиц — “модель твердых сфер”. Мы увидим в этой и следующей главах, что единственными характеристиками молекулярной модели, необходимыми для применимости термодинамического определения идеального газа, являются (в рамках классической механики) пренебрежимая малость а) собственного объема молекул по сравнению с общим объемом системы и б) средней потенциальной энергии их взаимодействия по сравнению с их средней кинетической энергией. Существенно, что оба условия, во всяком случае, выполняются при достаточном разрежении. Что же касается деталей строения и свойств молекул, то при выполнении этих двух условий их можно не принимать во внимание, пока нас интересует только равновесное термическое (p-V-T) уравнение состояния. Как мы увидим, для вывода этого уравнения  достаточно будет описывать тепловое движение молекул в газе просто как хаотическое (и потому подчиняющееся, в промежутках между очень редкими столкновениями, максвелловскому распределению по скоростям) движение материальных точек — центров инерции. Таким образом, представление о “твердых сферах” не должно считаться неотъемлемой частью молекулярной модели идеального газа. 
	Замечания. а). Тем не менее представление о твердых сферах упоминается в заголовках глав 3 и 6. При первом знакомстве с проблемами, которым  посвящены эти главы, очень удобен его простой и наглядный характер, позволяющий не вдаваться в детали, усложняющие изложение; в сущности, однако, это не очень реалистичная модель, используемая только для краткости и конкретности. (Обратите внимание, что, например, упомянутое выше требование малости “собственного объема” молекул в действительности, т.е. для более реалистичных моделей, далеко не так просто, как может показаться на первый взгляд.) Кроме того, по крайней мере, часть студентов могла пользоваться руководствами, в которых эта модель считается исходной для молекулярной теории идеального газа. По обеим указанным причинам она и применяется в дальнейшем, но ее не следует понимать буквально: газы не состоят из бильярдных шаров; в ходе дальнейшего изложения будет уточняться реальный смысл утверждений, которые первоначально формулируются для такого “модельного газа”. Для экзамена потребуется полный анализ проблемы молекулярного обоснования термического уравнения состояния, и для этой цели модель твердых сфер будет, по меньшей мере,  излишней. (Последнее, однако, неверно, если при выводе распределения Максвелла Вы избрали путь, основанный на свойстве инвариантности по отношению к упругим столкновениям (гл. 3): важно помнить, что модель твердых сфер активно использовалась при этом выводе.)
	б). Вопрос о молекулярном обосновании модели идеального газа должен в действительности обсуждаться не “изнутри” этой модели, а с позиций более общих точек зрения — теории Ван-дер-Ваальса, развитой для реальных газов и жидкостей; теорий внутримолекулярных явлений, проявляющихся в калорическом уравнении состояния; теорий неравновесных процессов. Эти вопросы будут изучаться позже, хотя (в рамках курса общей физики) и не слишком глубоко. Обсуждая обоснование модели идеального газа на экзамене, вы должны будете не воспроизводить высказываемые здесь предварительные замечания, а проявить эрудицию, которую приобретете при изучении этих более сложных проблем.
	в). В литературе иногда говорят о “газах, термически идеальных, но калорически неидеальных” (см. [17] задача 158); последнее имеет в виду, что теплоемкость CV может зависеть от температуры (что невозможно для газа твердых сфер). Такой терминологией лучше не пользоваться. 
	г). Вывод термического уравнения состояния из молекулярной модели  это, по существу, расчет давления. Он излагается практически на одинаковом уровне во всех учебниках вузовского уровня и даже  в хороших школьных учебниках. Мы здесь не будем повторять этот расчет давления, а рассмотрим проблему более глубоко. Однако для экзамена можно использовать также и любой курс университетского уровня. 
	3Тензор напряжений как плотность потока импульса. С понятием давления вы сталкивались в нескольких разделах курса физики, и могли вынести впечатление о некоторых расхождениях в терминологии. Напомним наиболее общий подход, развитый в разделе об упругости тел (ср. [16], гл. Х) и определяющий давление как частный случай напряжения, которое является тензорной величиной.
	Напряженное состояние “сплошной среды” (ee определение см. в гл. 1.9) характеризуется наличием сил, действующих между соседними частями системы (макроскопическими объемами) через разделяющие их поверхности. Поверхности могут быть воображаемые, внутри какогото тела (среды), или реальные, разделяющие физически различные тела. Рассмотрим происхождение сил, которые могут действовать на часть среды, имеющую объем V и ограниченную снаружи замкнутой поверхностью S.
	Напомним общее определение силы: согласно одной из форм II закона Ньютона (см. [16], § 11; [2], § 14, 16), сила  это скорость передачи импульса между взаимодействующими телами.  Полный импульс вещества, заключенного в объеме V, может изменяться за счет следующих трех причин. Во-первых, под действуем силовых полей, создаваемых макроскопическими телами, находящимися вне поверхности S достаточно далеко от нее, так что их молекулярное строение может не приниматься во внимание. Сила, приложенная к какому-то элементу объема dV со стороны таких тел, складывается из сил, действующих на все молекулы, находящиеся в dV, т.е она пропорциональна dV или массе dm=rdV (где r — плотность); такие силы называются объемными или массовыми. 
	Далее, имеются тела, непосредственно примыкающие извне к поверхности S. Их влияние на объем V должно рассматриваться непосредственно как сумма попарных взаимодействий между молекулами, находящимися внутри и вне этого объема. Поскольку межмолекулярные силы очень быстро убывают с увеличением расстояния между молекулами, в таких взаимодействиях реально участвуют только молекулы, находящиеся в очень тонких слоях, примыкающих к поверхности раздела с двух сторон; поэтому можно говорить о силах (действия и противодействия,  +и  ), действующих через отдельные элементарные площадки ; силы, действующие в обход площадки можно не учитывать — они малы. (В обозначении вектора площадки dS=|| — площадь; направление вектора  для площадки, перпендикулярной к какойлибо координатной оси, считается совпадающим с положительным направлением этой оси; если же площадка есть часть замкнутой поверхности, то  в каждой ее точке направляют как внешнюю нормаль.) 
	Третий механизм изменения импульса вещества, заключенного в объеме V, — это перемещение молекул через ограничивающую его поверхность: когда молекула массы m, движущаяся со скоростью , пересекает поверхность S и входит снаружи в объем V, импульс вещества в этом объеме получает приращение D= m; соответственно, когда такая же молекула покидает наш объем, выходя через поверхность S наружу, приращение импульса вещества в объеме равно D= –m. Подсчитав суммарный импульс, d, перенесенный через элемент поверхности  всеми молекулами, пересекшими этот элемент за время dt (см. ниже), мы найдем силу, действующую через площадку: = d/ dt. 
	Силы второго и третьего типа называют поверхностными.
	Если площадкадостаточно мала (ее линейные размеры много меньше расстояний, на которых заметно изменяется состояние среды в рассматриваемой макроскопической задаче), то имеет место линейное соотношение dF  dS . Векторы  и  не обязательно коллинеарны. Для произвольно ориентированной площадки все декартовы компоненты силы являются линейными однородными функциями всех компонент вектора площадки:
				 dFi = k ik dSk             (i,k=x,y,z). 		(6.1)
Эти равенства определяют матрицу ik,, называемую тензором напряжения (или напряжений: элементы матрицы называют напряжениями, как и вообще отношения сил к площадям, на [или через] которые они действуют). Диагональные компоненты ii, представляют собой нормальные напряжения, или натяжения вдоль соответствующих направлений; недиагональные компоненты — это тангенциальные, или сдвиговые, напряжения. Среднее нормальное напряжение, взятое с обратным знаком, называется давлением в среде: р= (xx+yy+zz)/3. Величина pi =  ii представляет собой давление на площадку, перпендикулярную оси i. 
	4Вычисление тензора напряжений. Мы будем вычислять напряжение внутри газа, а не силу, действующую со стороны газа на стенку заключающего его сосуда. При этом нам не понадобятся искусственные и не очень убедительные предположения о характере взаимодействия молекул со стенкой (см. [1], §§ 59, 98); результат же будет применим, без дополнительного обоснования, для таких важных задач, как вывод уравнения движения  газа (волнового уравнения) и распределения давления и плотности в потенциальном поле (барометрическая формула, распределение Больцмана).
	Рассмотрим, для определенности, внутри газа площадку dSx, перпендикулярную к оси . Сила, действующая через нее, будет в дальнейшем обозначаться (не путать с обозначением dFx для хкомпоненты силы ) . Имея в виду, что сила есть скорость передачи импульса, будем вычислять импульс, передаваемый через dSx справа налево (с положительной стороны на отрицательную) за время dt:
				=dt.		(6.2)
Компоненты этого импульса равны, с учетом обозначений (6.1):
				dPi(dSx, dt) = six dSx  dt            (i=x,y,z).	(6.3)
	В идеальном газе, где отсутствуют силы межмолекулярного взаимодействия, импульс, как уже сказано, передается (переносится) только молекулами, перелетающими через площадку. Молекула, масса которой равна m, а скорость , имеет импульс m. Среднее число молекул , которые падают с каждой стороны на площадку dSx  за время dt, имея скорости, принадлежащие элементарному скоростному объему, дается формулами (2.18)  (2.19):
			=(dtdSx).		(6.4)
Импульс, переносимый через площадку молекулами, летящими влево,  
		       dPi(dSx, dt;) = (dtdSx).	(6.5)
Аналогично для молекул, летящих вправо (импульс выносится с левой стороны на правую)
   		       dPi(dSx, dt;) =  (dtdSx). 	(6.6)
В формуле (6.6) |ux | = ux, a в (6.5) |ux | = ux . Складывая потоки (6.5) и (6.6), имеем:
			       dPi(dSx, dt) =  (dtSx). 	(6.7)	Заметьте, что потоки импульса, переносимые молекулами, летящими в противоположные стороны, не только равны по абсолютной величине, но и совпадают по знаку. Это общее свойство потоков векторных величин (в отличие от скалярных).
	Подставляя выражение (6.3), сокращая на (dtdSx) и учитывая общее правило вычисления средних (2.6), получаем окончательно:
				       six=  n0m               (i=x,y,z).	(6.8)
Для нормального напряжения sхx имеем, в частности, sхx=  n0m, и аналогично для syy и szz. Давление р = (sxx+syy+szz)/3, т.е.
			р = (1/3) n0 m  или  p =  (2/3) n0 .	(6.9)
Тангенциальные (сдвиговые) напряжения syx и szx в равновесном газе равны нулю, поскольку = 0 для ix в силу взаимной статистической независимости разноименных ортогональных компонент скорости (гл. 35). 
	В неравновесном газе, где имеются градиенты макроскопических скоростей, сдвиговые напряжения отличны от нуля. Для их вычисления следует построить соответствующую неравновесную функцию распределения молекул по скоростям. Уравнение для такой функции было выведено Больцманом, методика его решения слишком сложна для общего курса физики. Упрощенный метод вычисления сдвиговых напряжений будет рассмотрен ниже, в главе о кинетических свойствах идеального газа. Симметрия тензора напряжений (syx=sxy и т.д.), вытекающая для данного случая (идеальный газ, третий из упомянутых выше механизмов взаимодействия между макроскопическими объемами) из (6.8), является его общим свойством, которое доказывается из рассмотрения моментов сил, действующих на “элементарный” макроскопически малый объем (см. [17], § 74); однако проверять выполнение таких общих соотношений для результатов, получаемых из молекулярных моделей всегда полезно как подтверждение правильности расчетов.
	Во избежание неясности, напомним, что ориентация площадки  dSx с самого начала была произвольной, так что приведенный в основном тексте расчет доказывает также и равенство syz= 0; другим способом отсутствие сдвиговых напряжений, действующих через произвольно ориентированные площадки, можно доказать также как следствие равенства трех диагональных компонент тензора sik (применив формулы преобразования тензора при повороте осей координат; см ниже задачу 6.1). 
	5Давление в равновесном газе: основное уравнение кинетической теории и уравнение состояния, законы Дальтона и  Авогадро.	Формула (6.9) называется основным уравнением кинетической теории газов. Для равновесного газа средняя кинетическая энергия однозначно определяется температурой согласно (4.3), что дает:
			           p=n0kT=(NАвn/V) kT=nRT/V		(6.10)
(NАв — число Авогадро). Это  уравнение Клапейрона  Менделеева (чаще записываемое в легко запоминаемой форме pV=nRT). Из него немедленно следуют законы Дальтона (в силу доказанной в гл. 5  независимости средней кинетической энергии от рода молекулы) и Авогадро (V~n при заданном р), а также законы Бойля  Мариотта и ГейЛюссака. 
	В большинстве элементарных курсов уравнение (6.10) не выводится из молекулярной теории, а принимается как эмпирическое (получаемое обобщением газовых законов, см. лекцию 001), а основное уравнение кинетической теории (6.9) используется для нахождения связи средней кинетической энергии с температурой  вывода формулы (4.3). Как уже сказано, такой путь считается допустимым для экзамена. Следует, однако, иметь в виду, что в молекулярной физике имеется очень немного результатов, которые удается получить из строгой микроскопической теории, и большинство их, в отличие от (6.10), выводится весьма сложными математическими методами. Обидно не использовать столь редкую возможность получения результата фундаментальной важности, используя элементарную методику, развиваемую в нашем  курсе; тем более, что для этого не приходится использовать вычисления, выходящие за пределы книги [1]. 
	6Дополнительные замечания к гл. 6.
	1). К п. 3. Полезно обратить внимание на употребление предлогов в выражениях “сила, действующая на (или через) площадку”. Первый из них выглядит несколько более естественным, когда речь идет о “граничных” силах, т.е. действующих на какой-то объем среды со стороны реальной оболочки (или наоборот  со стороны среды на оболочку). К сожалению, его применяют и к силам, действующим через воображаемые площадки внутри среды, а это может легко вести к неясностям, от которых следует предостеречь          обучающихся. Вспомните, например, что при выводе барометрической формулы (см. [17], § 92, а в этом курсе ниже, гл. 7) или волнового уравнения (см. [2], § 108) выражают равнодействующую поверхностных сил, действующих на элемент объема как функцию градиентов напряжений, действующих “на” его границы; не возникает ли при этом неясность относительно направления сил?  Ее не было бы, если бы использовался предлог “через”, которым предпочтительно пользоваться во всех случаях. Тем не менее предлог “на” утвердился и в учебной литературе (поскольку при первом введении понятия давления рассматривают твердые тела, а в дальнейшем — ограниченный объем газа или жидкости в каком-то сосуде, и говорят тогда о давлении на стенку или поршень), и в теоретической (где обычно исходят из выражения для суммарной силы, действующей на объем через воображаемую замкнутую поверхность S). В этом курсе будет всегда применяться предлог “через” (кроме, конечно, выражения “давление на стенку как на материальный объект”); это облегчит, кроме упомянутых вопросов, также рассмотрение явлений переноса и вывод уравнения Ван-дер-Ваальса.  Поскольку в литературе общепринято применять предлог “на”, его использование на экзамене само по себе не будет считаться ошибкой, если не проявится как неверные знаки в формулах. 
	Трудность, о которой здесь шла речь, скорее логическая, чем принципиальная, поскольку в силу уравнений механики сплошной среды напряжения не зависят от координат, если отсутствуют объемные силы; следовательно, на границе и в объеме они совпадают. Впрочем, ссылка на механику сплошной среды теряет силу в применении к слоям толщиной порядка радиуса действия межмолекулярных сил, а может быть, даже порядка длины свободного пробега молекул. В таких слоях к газу нельзя применять обычные макроскопические уравнения состояния. Эти сложные вопросы рассматриваются в теории адсорбции, а также в молекулярной теории поверхностного натяжения. Они не входят в программу общего курса физики.
	2). К п. 4. Расчет давления на границе между газом и твердой стенкой, конечно, не менее важен, чем рассмотренный здесь расчет давления внутри газа. В данном курсе предпочтение отдано этой второй задаче не столько ввиду ее более прямой связи с упомянутыми в тексте проблемами, но и как более простой: ее вполне строгое решение обошлось без введения искусственных и не очень убедительных предположений о характере взаимодействия молекул со стенкой (см. [1], §§ 59, 98). Существенно, что одновременно решена, хотя и не безупречным образом, также и задача о давления на стенку: в силу получаемого ниже, в главе 7, результата, связывающего градиент давления с плотностью объемных сил, можно утверждать, что при отсутствии последних давление в равновесном газе не зависит от координат; следовательно формулы (6.9), (6.10) верны повсюду, в частности, и на границе. Однако нужно иметь в виду, что упомянутый результат будет получен в гл. 7 методами механики сплошной среды, т.е. для макроскопического давления, а вопрос, обосновано ли его применение к слою газа, непосредственно прилегающему к стенке, требует, как уже сказано, специального обсуждения. Сомнения можно отчасти успокоить, приняв во внимание тот “экспериментальный факт”, что формулы (6.9), (6.10) обычно получают именно путем прямого расчета давления на стенку, причем исходя из самых разнообразных предположений о взаимодействии молекул со стенкой. Впрочем, если выбирать между этими предположениями, то самой привлекательной представляется принимаемая в [1] модель, согласно которой налетающие на стенку молекулы сохраняют в пристеночном слое среднюю плотность и распределение скоростей, которое они имели в объеме газа, а молекулы, покидающие адсорбированный слой, имеют такое же (максвелловское) распределение, но обусловленное тепловым движением в стенке.
	Полезно еще обсудить неоднократно повторенное в [1] утверждение, что модель идеального газа означает, что поведение каждой молекулы не зависит от наличия в том же объеме других молекул (того же самого газа или других газов). Имеется в виду, что наличие других молекул сказывается только при столкновениях, которые важны для формирования распределения по скоростям, а между столкновениями молекулы движутся свободно, по инерции и, следовательно не чувствуют присутствия других молекул. Пока речь идет о равновесных свойствах, столкновения могут не учитываться в явном виде. 

	6Задачи к гл. 6.
	Задание 6.1.	[18], задачи №№  2.62 (“Современные…”) — 2.65 (“парал-лельный пучок…”),  2.74 (“Теплоизолированный …”)  2.77 (“Азот массы…”), 2.79 (“Газ из жестких…”)  — 2.101 (“Исходя из условий…”).
							
	Задание 6.2.	[17], задачи №№  296   311, 367, 368. 
	В приведенном в [17] решении чрезвычайно полезной   задачи №  307 допущены две ошибки, компенсирующиеся в ответе. Найдите их.