СПбГУ

Санкт-Петербургский государственный университет

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

                                                   

3. Теорема Фурье и плоские монохроматические волны

 

В большинстве элементарных курсов физики свет обычно рассматривается как совокупность электромагнитных волн. При этом чаще всего подразумеваются плоские монохроматические волны, представляющие собой лишь один из наиболее простых и, следовательно, удобных для анализа типов волновых процессов. Напомним кратко основные свойства таких волн.

Плоскую монохроматическую электромагнитную волна в вакууме (см.рис.) можно попытаться представить себе как непрерывно заполняющее все пространство множество параллельных плоскостей (волновых фронтов), во всех точках которых лежат описывающие электрическое и магнитное поле векторы и B.

Величины этих векторов на каждой из таких плоскостей одинаковы, а их направления — взаимно перпендикулярны. Описанный «бесконечный слоеный пирог» несется со скоростью света c в перпендикулярном волновым фронтам направлении, которое принято задавать при помощи волнового вектора k, величина которого связана с длиной волны и частотой света w следующим соотношением:

(1).

Вдоль задаваемого волновым вектором k направления величины векторов E и B изменяются по гармоническому закону (т.е. как синус и косинус).

В дальнейшем будем использовать более упрошенное изображение плоской монохроматической волны («вид сверху»), где вместо поверхностей постоянных фаз будут рисоваться только линии, расстояние между которыми будет соответствовать длине волны излучения.

Попутно отметим, что используемые в данной публикации способы изображения плоских монохроматических волн существенно отличаются от стандартно принятых в учебниках элементарной физики, где обычно изображается последовательность векторов Е и В, расположенных вдоль одной прямой. Такое изображение создает ошибочное представление о том, что плоская монохроматическая волна являетсячем-то подобным бесконечно тонкому лучу, вне которого поле отсутствует. «Реальная» же плоская монохроматическая волна занимает все пространство.

Следует учитывать, что описанные плоские монохроматические волны, являясь одним из возможных решений уравнений Максвелла для поля в вакууме, в «чистом» виде в природе,по-видимому, не встречаются. Действительно, трудно представить себе в физической реальности поле, занимающее все бесконечное пространство, всегда существовавшее и всегда существующее во времени. Электромагнитные поля, создаваемые лишь некоторыми источниками света (лазерами, работающими в одномодовом режиме) могут лишь приближенно описываться при помощи отдельных плоских монохроматических волн. В этом смысле такие волны в оптике аналогичны материальным точкам в механике: и те и другие являются допускающими удобное математическое описание заведомо упрощенными образами реальных физических объектов. Однако этим значение плоских монохроматических волн для физики не исчерпывается.

В начале 19 века французским математиком Ж.Фурье был развит чрезвычайно мощный метод, в основе которого лежит представление периодических функций при помощи тригонометрических рядов (в виде бесконечных сумм по дискретному набору кратных частот синусов и косинусов). Такое представление функций во многом аналогично разложению вектора по ортонормированному базису (полному набору взаимно ортогональных векторов единичной длины) [5]. В дальнейшем оказалось, что достаточно гладкие непериодические функции, обращающиеся в нуль на бесконечности (практически все реальные физические поля описываются как раз такими функциями!) так же представимы суперпозицией тригонометрических, частоты которых в этом случае пробегают непрерывный набор значений (интеграл Фурье). Сформулированные утверждения имеют самое непосредственное отношение к проблеме обращения волнового фронта: реально существующее электромагнитное поле может рассматриваться как суперпозиция плоских монохроматических волн.

Подробнее читайте в приложении 1: Разложение функций в ряды и интегралы Фурье.

Ответственный за содержание: С. С. Смирнова, s.s.smirnova@spbu.ru

Поиск