СПбГУ

Санкт-Петербургский государственный университет

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

                                                   

Вывод преобразований Лоренца в трехмерном векторном виде

 

Общий вид линейных преобразований

t' = att(u)t+atx(u)x+aty(u)y+atz(u)z,
x' = axt(u)t+axx(u)x+axy(u)y+axz(u)z,
y' = ayt(u)t+ayx(u)x+ayy(u)y+ayz(u)z,
z' = azt(u)t+azx(u)x+azy(u)y+azz(u)z,

можно записать через трехмерные вектора:

t' = a(u)t+b(u)(ur),
r'|| = d(u)ut+e(u)r||,
r'^ =f(u)r^ .
(L3d)
(L4d)
(L5d)

Теперь учтем, что точка r=0 движется со скоростью -u вдоль оси X' в системе k': r'=-ut'.
Из уравнений (L3d), (L4d) следует d(u)= -a(u). Для симмтерии заменим b(u)=-a(u)g(u) 
Аналогично точка r'=0 движется со скоростью u вдоль оси X в системе k: r=ut . Из тех же уравнений следуетe(u)= a(u):

t' = a(u)[t-g(u)(ur)],
r'|| = a(u)[ r|| -ut].
(L8d)
(L9d)

Рассмотрим еще одну инерциальную систему отсчета k'', движущуюся со скоростью u' вдоль оси X' системы k'. Закон преобразования из системы k' в систему k'' должен иметь вид, аналогичный (L8), (L9):

t'' = a(u')[t'-g(u')(u'r')],
r''|| = a(u')[ r'|| -u't'],
r''^ =f(u')r'^ .
(L10d)
(L11d)

(L11pd)

Подставляя в (L10d), (L11d) выражения для r', t' из (L5d), (L8d), (L9d), получаем

С другой стороны, равенства (L12d), (L13d), (L13pd) описывают переход из системы k в систему k', движущуюся вдоль оси X с некоторой скоростью u'':

t'' = a(u'')[t-g(u'')(u''r)],
r''|| = a(u'')[r|| -u''t],
r''^ =f(u'')r^ .
(L14d)
(L15d)
(L15pd)

Из сравнения соотношений (L12d), (L13d) с (L14d), (L15d) следуют равенства

g(u)=g(u')=g=const,
(L16d)
a(u'')=a(u)a(u')(1+uu'g),
(L17d)
u''=(u+u')/(1+uu'g),
(L18d)
f(u'')=f(u)f(u').
(L18pd)

Равенства (L16d), (L17d), (L18d) совпадают с (L16), (L17), (L18), а (L18pd) с учетом (L18d) позволяет сделать вывод, что 0f(u) =1, т. е. поперечные координаты действительно не преобразуются при линейных преобразованиях Лоренца.

Окончательно в векторной форме имеем

Заметим, для полноты, что в формулах (L20d), (L20pd)
r||=u(ru)/u2, r ^=r-u(ru)/u2

к оглавлению

Ответственный за содержание: специалист управления по связям с общественностью С. С. Смирнова, s.s.smirnova@spbu.ru

Поиск