СПбГУ

Санкт-Петербургский государственный университет

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

                                                   

III закон Ньютона

 

III закон Ньютона

По III закону Ньютона сила F, действующая на тело, является проявлением взаимодействия с некоторым источником, причем само тело действует на источник с силой F’, равной F и направленной в противоположную сторону: F= — F’. Для центрально-симметричных взаимодействий силы действия и противодействия всегда направлены по одной прямой. В общем случае эти силы направлены как показано на рис. A1 

не по линии, соединяющей точки приложения этих сил, а по параллельным линиям. При этом оказывается, что суммарный момент сил в системе двух взаимодействующих тел A и B отличен от нуля!

Момент количества движения

Докажем, что отличный от нуля момент сил, действующих на некоторую систему из N тел, приводит к изменению ее момента количества движения.
Выпишем уравнения движения для каждого из N тел в следующем виде:

Введенные здесь обозначения очевидны:
Fi — суммарная сила, действующая на тело i; 
vi и pi — скорость и импульс этого тела в данный момент;
Dt — промежуток времени, малый настолько, чтобы можно было пренебречь изменением любых параметров системы.
Умножим равенство (A1) слева векторно на радиус-вектор точки приложения силы Fi:

Правую часть этого равенства можно переписать в виде

так как имеет место тождество

Последнее слагаемое в правой части этого тождества обращается в ноль в виду того, что D ri||pi (векторное произведение параллельных векторов равно нулю).
Проведем в (A2) суммирование по i:

В левой части этого равенства стоит импульс суммарного момента сил M, а в правой - изменение суммарного момента количества движения всей системы:

Dt=DL (A3)

Из этого равенства следует, что отличный от нуля момент сил приводит к изменению вектора момента количества движения системы.
В системе двух тел, изображенной на рис. A1, суммарный момент сил отличен от нуля. Такая система должна, в соответствии с формулой (A3), ускоренно вращаться относительно общего центра масс, что противоречит, в частности, закону сохранения энергии. Могут ли существовать системы, подобные изображенной на рис. A1? 

Центрально-симметричный потенциал

Сила, действующая на частицу в потенциальном поле, равна

где введен векторный оператор градиента

.

Для центрального-симметричного потенциального поля потенциал взаимодействия двух частиц зависит (по определению) только от расстояния между ними: U(r1, r2)=U(|r1- r2|). Следовательно, силы взаимодействия частиц F1 и F2 равны:

Здесь

.

Обозначим |r1- r2|=r и заметим, что

Таким образом, для центрально-симметричных потенциалов силы действия и противодействия всегда направлены по одной линии в противоположенные стороны. В природе центрально-симметричные потенциалы описывают все дальнодействующие поля - гравитационное и электростатическое. Нецентральные поля (ядерные) имеют конечный радиус взаимодействия (-13см) и не проявляются в макроскопической физике.

Пример нецентральных сил

Тем не менее центрально-симметричные потенциалы могут приводить к нецентральным взаимодействиям. Приведем конкретный пример такой системы. Заряд q расположим на расстоянии L от середины диполя, состоящего из зарядов +q и -q, как показано на рис. A2. Дл ина диполя dL.

Силы Fи F2, действующие на заряд со стороны диполя, равны по величине. Их векторная сумма равна F. Силы, действующие на диполь со стороны заряда, равны -F1 и -F2 соответственно, а их сумма -F. Момент сил F и -F относительно любой точки отличен от нуля, направле н по часовой стрелке и равен M=FL. Но заметим, что момент сил -F1 и -F2, п риложенных к диполю, тоже отличен от нуля, направлен против часовой стрелки и равен M’@ F1d. Из сравнения треугольника сил F1, F2, F с треугольником, в вершинах которого находятся заряды, видим, что F 1/F@ L/d. Отсюда получаем, что F1d @ FL и M=M’, а в векторной форме M=- M’. Следовательно, суммарный момент сил, действующих в этой системе, равен нулю.
Заряд, находящийся в точке B, действуя на диполь, расположенный в точке A, создает не только силу - F, но и момент сил - M’.

Поле диполя

Покажем, что потенциальное поле, создаваемое диполем, нецентральное.

Для этого обратимся к рис. А3 и вычислим потенциал в произвольной точке на расстоянии R от центра диполя под углом q к вектору d, соединяющему заряды диполя:

Это выражение на расстояниях R>>d можно упростить, используя разложение по малой величине d/R:

С учетом этого приближения формула (A8) может быть переписана в виде

Для элементарного диполя d- 0, q стремится к бесконечности при фиксированном значении дипольного момента p=qd. Потенциал поля такого диполя

Видим, что потенциальное поле диполя не обладает сферической симметрией — потенциал явно зависит не только от расстояния R до диполя, но и от угла q между осью диполя и направлением в точку наблюдения.
Таким образом, даже в центрально-симметричных потенциальных полях взаимодействие элементарных объектов может иметь вид, характерный для нецентральных потенциалов. Силы действия и противодей ствия равны, направлены противоположно, но не по одной прямой, соединяющей точки приложения сил, а по параллельным линиям. При этом взаимодействие в целом описывается не только силами, но и моментами сил, т. е. имеет более сложный вид, чем обычно подразумевается при формулировке III закона.

Ответственный за содержание: специалист управления по связям с общественностью С. С. Смирнова, s.s.smirnova@spbu.ru

Поиск