СПбГУ

Санкт-Петербургский государственный университет

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

                                                   

Атом водорода в рамках простейшей модели Резерфорда - Бора. Атомная система единиц

 

1. Модель Резерфорда. Постулаты Бора

 

Согласно модели Резерфорда, электрон в водородоподобном ионе движется по классической круговой орбите под действием кулоновских сил, создающих центростремительное ускорение (1.1). При таком движении величина потенциальной энергии в два раза превосходит кинетическую, а полная энергия оказывается отрицательной и равной половине потенциальной (1.2). Еще одной важной сохраняющейся во времени характеристикой классического движения по орбите является момент импульса (1.3). Согласно классическим представлением полная энергия и момент импульса могут принимать непрерывный набор значений.

Правила квантования Бора были введены в результате сравнения классического выражения для частоты вращения электрона по круговой орбите (1.4) с уже установленной Планком связью между частотой и энергией кванта (1.5). Допущение о дискретном характере обмена энергией между полем и веществом заставляет перейти в (1.4) от производных к дискретным приращениям, что немедленно приводит к известному правилу квантования момента импульса, из которого следует существование лишь тех допустимых орбит, на длине которых укладывается целое число длин волн Д«Бройля .

 

(1.1)

Классическое уравнение движение электрона в атоме Резерфорда

(1.2)

Кинетическая, потенциальная и полная энергия электрона на круговой орбите в атоме Резерфорда

(1.3)

Классическое выражение для момента импульса орбитального движения

(1.4)

Основная гипотеза Бора

(1.5)

Гипотеза Планка

(1.6)

Правило квантования углового момента

(1.7)

Длина волны Д’Бройля и правило квантования радиусов боровских орбит.

 

 

2. Энергетические уровни в атоме водорода и сходных ионах

Подстановка правила квантования (1.6) в классическое уравнение движения (1.1) и выражение для энергии (1.2) приводит к хорошо известным выражениям для радиусов разрешенных орбит и соответствующим им энергиям электрона в водородоподобных ионах (1.8). Полученные таким образом результаты (1.9) хорошо согласуются с давно известными экспериментально установленными закономерностями для частот линий спектра излучения водорода.

(1.8)

Правила квантования радиусов боровских орбит и энергии, соответствующие этим орбитам.

(1.9)

Неожиданные для классической физики закономерности для частот излучения в спектре водорода, объясненные моделью Резерфорда — Бора.

 

 

3. Атомная система единиц

 

Для удобства записи и без того громоздких формул представляется целесообразным использование специальной системы единиц, в которой постоянная Планка, заряд и масса электрона приняты равными 1. В этой системе величина скорости света оказывается равной 137 (обратная величина носит название постоянной тонкой структуры). Расстояния в атомной системе единиц измеряются в радиусах первой боровской орбиты атома водорода a0, а энергия — в Ритбергах (Ry), величина которого равна 1/2.

 

4. Правила квантования Бора — Зоммерфельда

Вышерассмотренная элементарная теория не могла объяснить эффекта расщепления энергетических уровней атома водорода в магнитном поле. Зоммерфельд предположил, что движение электрона в атоме происходит не по круговой, а по эллиптической орбите и характеризуется двумя обобщенными координатамиqrи qj.

Кинетическая энергия в этом случае оказывается равной сумме кинетических энергий радиального и азимутального движений (1.10). Квантованию подлежат «действия» — интегралы от обобщенных импульсов (1.11) по канонически сопряженным им обобщенным координатам (1.12).

В рамках такого подхода оказывается, что энергия электрона в Кулоновском поле зависит от суммы двух квантовых чисел и, следовательно, может принимать вырожденные значения (одному значению энергии соответствуют различные типы движения). Наложение внешних возмущений снимает вырождение, т. е. расщепляет энергетические уровни атома. В свою очередь это приводит к расщеплению спектральных линий.

 

(1.10)

Кинетическая энергия электрона на эллиптической орбите.

(1.11)

Определение обобщенного импульса

(1.12)

Правила квантования Бора-Зоммерфельда.

Ответственный за содержание: С. С. Смирнова, s.s.smirnova@spbu.ru

Поиск