СПбГУ

Санкт-Петербургский государственный университет

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

                                                   

Сферически симметричные состояния электрона в атоме водорода


2.1. Уравнение Шредингера для движения электрона в кулоновском поле

Квантовомеханическая задача о движении в пустом пространстве двух частиц с различными массами, взаимодействующих друг с другом, сводится к одночастичной путем введения приведенной массы (2.1). В случае атома водорода приведенная масса практически совпадает с массой электрона. Стационарным состояниям (с определенной энергией) отвечают решения уравнения Шредингера (2.2), зависящие от времени по гармоническому закону (2.3). Координатная часть волновой функции для таких состояний удовлетворяет стационарному уравнению Шредингера (2.4). Входящий в уравнение Шредингера оператор Лапласа в сферических координатах разделяется на слагаемые, зависящие от расстояния и от углов. Зависящую от углов часть удобно выразить через оператор квадрата момента количества движения (2.5).

 

(2.1)

Приведенная масса в случае атома водорода близка к массе электрона.

(2.2)

Нестационарное уравнение Шредингера

(2.3)

Стационарные состояния (с определенной энергией).

(2.4)

Стационарное уравнение Шредингера.

(2.5)

Оператор Лапласа в сферических координатах и его связь с оператором квадрата момента количества движения.

 

 

2.2. Уравнение для сферически симметричных состояний

 

В простейшем случае сферически симметричных состояний (S-состояний) ненулевой вклад дает лишь независящая от углов часть оператора Лапласа (2.6). Уравнение Шредингера приобретает весьма простой вид (2.7).

(2.6)

Частный случай уравнения (2.5) дляs-состояний.

(2.7)

Окончательный вид уравнения для волновой функцииs-состоянийводорода.

 

 

2.3. Ассимптотика решений

 

На больших расстояниях можно пренебречь слагаемыми, пропорциональными r-1. В результате получается несложное дифференциальное уравнение (2.8), решение которого в случае положительных энергий представляет собой плоские волны (2.9), а при отрицательных энергиях — суперпозицию возрастающей и затухающей экспонент. В последнем случае требование нормируемости волновой функции означает равенству нулю коэффициента при неограниченно возрастающей экспоненте (2.10).

 

(2.8)

Ассимптотика уравнения для волновой функции электрона вдаль от ядра атома водорода.

(2.9)

Ассимптотика волновой функции при положительных энергиях.

(2.10)

Ассимптотика волновой функции при ольтрицательных энергиях.

2.4. Решение уравнения Шредингера для s-состояний атома водорода

В соответствии с ассимптотикой (2.10) волновую функцию для связанных состояний (при отрицательной энергии) электрона в атоме водорода логично искать в виде произведения бесконечного полинома на экспоненциально затухающий множитель (2.11). Подстановка пробного решения в исходное уравнение (2.7) приводит к рекуррентному соотношению для коэффициентов полинома (2.12). В случае больших расстояний основной вклад в полином дают слагаемые с большими номерами, для которых рекуррентное соотношение существенно упрощается. Как видно (2.13), на больших расстояниях построенное решение ведет себя подобно возрастающей экспоненте, что противоречит требованию нормируемости решения. Противоречие снимается лишь в частном случае обращения в нуль одного из коэффициентов в цепочке рекуррентных соотношений (2.14), что возможно лишь для дискретного набора значений энергий (2.15). В указанном случае решение имеет вид произведения конечного полинома на затухающий экспоненциальный множитель и «правильно» ведет себя на больших расстояниях. Полученные допустимые значения энергии совпадают с результатами, полученными в рамках модели Бора-Резерфорда. Соответствующие найденным значениям энергии волновые функции имеютn-1 нуль и экспоненциально затухают на бесконечности (2.16). Входящее в выражение для энергии целое число n носит название главного квантового числа

 

(2.11)

Вид пробного решения уравнений (2.7)

(2.12)

Дифференциальное уравнение для полинома и рекуррентное соотношение для его коэффициентов.

(2.13)

Поведение построенного полинома на бесконечности, приводящее к ненормируемости волновой функции.

(2.14)

Выход из противоречия (2.13).

(2.15)

Дискретный набор энергийs-электронав атоме водорода.

(2.16)

Волновые функции электронов в s-состоянияхатома водорода.

Ответственный за содержание: специалист управления по связям с общественностью С. С. Смирнова, s.s.smirnova@spbu.ru

Поиск