СПбГУ

Санкт-Петербургский государственный университет

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

                                                   

Спиновые состояния атома водорода

 

4.1. Базисные состояния системы из двух частиц со спином 1/2

Две невзаимодействующие частицы со спином 1/2 составляют систему, базис которой состоит их четырех состояний (4.1). При поворотах системы координат вокруг оси z состояния преобразуются подобно тому, как преобразовывались состояния со спином 1/2, но теперь множитель при набеге фазы принимает значения m=-1, 0, +1 (вместо m=-1/2, +1/2) (4.2). Возникает желание приписать полученным состоянием значение спина 1 или 0. Для проверки гипотезы рассмотрим преобразование построенных состояний при произвольном повороте.

 

(4.1)

Базисные состояния системы из двух частиц со спином 1/2.

(4.2)

Преобразование базисных состояний при вращениях вокруг оси z.

 

4.2. Преобразование базисных состояний при произвольных вращениях

Выразим через элементы матрицы вращения для частицы со спином 1/2 (4.3) аналогичные элементы матрицы оператора произвольного вращения для двухчастичных состояний (4.4). Как видно, из четырех базисных состояний можно построить три новые, взаимно ортогональные, преобразующиеся при произвольном повороте только через себя (4.5). Оставшимся четвертым состоянием, ортогональным построенным, является антисимметричная комбинация (4.6), остающаяся инвариантной при поворотах базиса. Такому скалярному состоянию логично приписать нулевой спин. Т.о. из четырех базисных состояний двухчастичной системы частиц со спином 1/2 можно построить три состояния со спином 1 и одно скалярное. Новый базис удобнее предшествующего из-за того, что при вращениях три построенные состояния преобразуются только друг через друга.

 

(4.3)

Новое обозначение элементов матрицы вращения для частицы со спином 1/2.

(4.4)

Преобразование базисных состояний для двух частиц со спином 1/2 при произвольном повороте.

(4.5)

Тройка состояний системы, соответствующая единичному спину.

(4.6)

Скалярное состояние (спин равен нулю).

 

4.3. 3J-символы

С несколько более общей точки зрения проделанная в п.4.2 работа представляет собой не что иное, как нахождение коэффициентов разложения состояний одного базиса по состояниям другого. Эти коэффициенты получили названия коэффициентов Клепше — Гордана (4.7). Чаще употребляются 3j — символы, отличающиеся более удобной нормировкой (4.8). По существу были сосчитаны коэффициенты Клепше — Гордана и 3j-символы для состояний с s1=s2=1/2.

В нашем рассмотренном случае выполняются следующие общие свойства 3j- символов:

3j-символотличен от нуля, если его верхние индексы удовлетворяют правилу треугольника и сумма нижних индексов равна нулю. Кроме того, можно показать, что при перестановке двух столбцов 3j-символдомножается на (-1)s1=s2=S.

 

(4.7)

Коэффициенты Клепше — Гордана.

(4.8)

Определение3j-символа

 

4.4. Векторные частицы

Матрица поворотов частицы с единичным спином выражается через матрицу поворотов частицы со спином 1/2 согласно (4.9). Для простейших поворотов матрица преобразования состояний выглядит точно так же, как матрица преобразований круговых компонент обыкновенного вектора в трехмерном пространстве (4.10). По этой причине частицы с единичным спином называют векторными. В дальнейшем будет удобно использовать обратное утверждение: трехмерный вектор при поворотах системы координат ведет себя подобно частице со спином 1.

 

 

(4.9)

Матрица преобразования базисных состояний частицы со спином 1.

(4.10)

Явный вид матриц поворота для векторной частицы.

 

Ответственный за содержание: С. С. Смирнова, s.s.smirnova@spbu.ru

Поиск