СПбГУ

Санкт-Петербургский государственный университет

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

                                                   

Волновые функции электрона в атоме водорода в состояниях, зависящих от углов

 

5.1. Связь оператора момента импульса с операторами поворотов

Поворот системы координат на бесконечно малый угол d j приводит к тому, что любой вектор r получает приращение (5.1). В свою очередь это приводит к изменению зависящей от координат волновой функции (5.2), которое может быть представлено через оператор момента импульса (5.3). Простая связь оператора бесконечно малого поворота с оператором момента количества движения позволяет легко найти собственные состояния и соответствующие им собственные числа оператора проекции момента импульса (5.4). Действительно, направляя ось z вдоль ось вращения, нетрудно убедиться в том, что ранее построенные собственные состояния оператора вращений вокруг выбранного направления |S,Ms> оказываются собственными состояниями и оператораz-проекции момента количества движения. Единственное ограничение, возникающее на этом пути, состоит в том, что собственным состояниями рассматриваемого оператора на самом деле могут быть только состояния, соответствующие целочисленным значениям спина системы. Только в этом случае в наборе собственных значенийz-проекции момента содержится нулевая величина, соответствующая нахождению частицы на оси квантования.

Что же касается операторов других проекций момента импульса, то для них спиновые состояния не являются собственными хотя бы из-затого, что соответствующие операторы бесконечно малых поворотов имеют недиагональные матрицы.

В курсе квантовой механики показывается, что собственные состояния оператора z-проекции момента импульса одновременно являются и собственными состояниями оператора квадрата импульса. Сам этот оператор, записанный в сферических координатах (2.6), точно совпадает с угловой частью оператора Лапласа (2.5) и, следовательно, входит в выражение для гамильтониана системы. Представляется возможность опустить доказательства сделанных утверждений и убедиться путем непосредственных вычислений в том, что построенные состояния действительно являются собственными состояниями угловой части оператора Лапласа.

(5.1)

Приращение вектора при повороте на бесконечно малый угол.

(5.2)

Действие оператора  б. м. поворота на волновую функцию.

(5.3)

Связь оператора момента импульса с оператором поворота на б.м. угол

(5.4)

Состояния системы с целочисленным спином являются собственными состояниями для оператораz-проекциимомента импульса.

(5.5)

Оператор квадрата момента импульса, записанный в сферических координатах.

 

5.2. Шаровые функции

Пусть электрон находится в какой-либо точке пространства, характеризуемой сферическими координатами (r, q , j )(начало отсчета связано с ядром, считающимся неподвижным). Если выбрать новую систему координат так, чтобы электрон находился на оси z’, то проекция его момента количества движения на эту ось будет равной 0. Т.о. электрон окажется в состоянии |l,0>. Если теперь новую систему координат повернуть так, чтобы она совместилась с исходной, состояние |l,0> перейдет в суперпозицию состояний с таким же l, но всевозможными проекциями m (5.6). Определим шаровую функцию Ylm как амплитуду того, что после указанных поворотов система перейдет в состояние |l,m> (5.7). Полученные ранее матрицы операторов поворота позволяют непосредственно вычислить значения шаровых функций (5.8). Для дальнейшего изложения понадобится явное выражение для шаровой функции Yll. Для его нахождения достаточно учесть, что состояние |l,l> при поворотах ведет себя подобно совокупности из 2x l частиц с одинаково направленными спинами 1/2, а состояние |l,0> — подобно совокупности частиц, половина из которых имеет спины ориентированные вверх и половина — вниз (5.9). Непосредственным вычислением легко убедиться, что шаровые функции с одинаковыми индексами являются собственными функциями операторов квадрата момента импульса и его z-проекции (5.10).

 

(5.6)

Преобразование момента импульса орбитального движения электрона при вращениях системы координат.

(5.7)

Определение шаровой функции.

(5.8)

Примеры вычисления нескольких амплитуд, необходимых для построения соответствующих шаровых функций .

(5.9)

Вычисление шаровой функции с одинаковыми индексами.

(5.10)

Собственные значения операторов момента импульса на шаровых функциях.

 

5.3. Разделение переменных в уравнении Шредингера для атома водорода

Волновой функцией электрона в сохраняющемся во времени состоянии |n,l,m> (состоянии с определенной энергией) называют амплитуду того, что находящаяся в указанном состоянии частица будет зарегистрирована в заданной точке пространства (5.11). Эту амплитуду можно пытаться искать как произведение амплитуд двух независимых событий: 1) в повернутой системе координат электрон находится на оси z’ на заданном расстоянии от ядра; 2) после возвращения повернутой системы в исходное положение электрон окажется в состоянии с заданной проекцией момента m (5.12). Фактически сказанное означает возможность представления волновой функции в виде произведения двух независимых множителей: радиальной и угловой частей. Подстановка введенного разложения в уравнение Шредингера для электрона в атоме водорода позволяет получить обыкновенное дифференциальное уравнение для радиальной части волновой функции состояний, зависящих от углов (5.13).

По сравнению с аналогичным уравнением для сферически симметричных состояний (2.6) полученное уравнение имеет дополнительное слагаемое, которое может быть формально приписано к потенциалу в виде отталкивательного члена. Это слагаемое получило название центробежного потенциалаиз-за явного сходства с классическим выражением для части кинетической энергии, связанной с движением электрона по азимутальному направлению (5.14). Приводящий к эффективному отталкиванию центробежный потенциал вносит существенный вклад в области малых расстояний. Его появление приводит к уменьшению глубины потенциальной ямы, в которой движется связанный с ядром электрон. В результате с ростом квантового числа l все больше число энергетических уровней, допустимых для сферических состояний, оказывается нереализуемымииз-за того, что лежат ниже минимума потенциальной энергии.

 

(5.11)

Определение волновой функции.

(5.12)

Представление волновой функции в виде произведения двух независимых множителей.

(5.13)

Уравнение для радиальной части волновой функции.

(5.14)

Классическое выражение для кинетической энергии электрона на эллиптической орбите.

 

5.4. Решение уравнения Шредингера для состояний, зависящих от углов

В случае зависящих от углов состояний уравнение Шредингера для радиальной части волновой функции решается методом (5.15), аналогичным ранее применявшемуся для расчета сферически симметричных состояний. Наличие дополнительного слагаемого (центробежного потенциала) несколько изменяет рекуррентные соотношения для коэффициентов разложения по степеням r и приводит к обязательному требованию равенства нулю первого коэффициента разложения (5.16).

Для того, чтобы построенный в соответствии с соотношениями (5.16) ряд не был тождественно равен нулю (каждый следующий коэффициент получается из предыдущего домножением на число, а первый коэффициент — равен нулю), необходимо, что бы на каком-тошаге знаменатель коэффициента в рекуррентном соотношении (5.16) обратился в нуль. Это означает, что квантовое число l должно принимать только целочисленные значения. Как и в случае сферически симметричных состояний, ряд обязан оборваться на конечном шаге (иначе не будут выполнены граничные условия для волновой функции на бесконечности). При этом обрыв ряда должен произойти не раньше его возникновения. В результате для состояний с n=1 оказывается возможным лишь одно значение l=0, для n=2 — два значения l=0 и l=1 и т.д. Указанные соображения позволяют построить волновые функции для любого числа нижних состояний атома водорода (5.17—5.19). Для вычисления коэффициентов входящих в выражения для волновых функций полиномов следует использовать рекуррентное соотношение (5.16) и естественное требование равенства единице интеграла по всему бесконечному объему от квадрата волновой функции.

 

(5.15)

Метод решения уравнения Шредингера для радиальной части волновой функции.

(5.16)

Соотношения для коэффициентов полинома g(r).

1s-электронn=1, l=0, k=1, W=-Ry

(5.17)

Волновая функция нижнего состояния атома водорода

2s-электронn=2, l=0, k=1/2, W=-Ry/4

2p-электронn=2, l=1, k=1/2, W=-Ry/4

(5.18)

Волновые функции, соответствующие первому возбужденному уровню атома водорода

3s-электронn=3, l=0, k=1/3, W=-Ry/9

3p-электронn=3, l=1, k=1/3, W=-Ry/9

3d-электронn=3, l=2, k=1/3, W=-Ry/9

(5.19)

Волновые функции, соответствующие второму возбужденному уровню атома водорода.

Ответственный за содержание: С. С. Смирнова, s.s.smirnova@spbu.ru

Поиск