СПбГУ

Санкт-Петербургский государственный университет

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

                                                   

Испускание и поглощение фотонов атомами

 

9.1. Оператор взаимодействия системы электрических зарядов с электромагнитным полем

В классической электродинамике энергия взаимодействия зарядов с электромагнитным полем может выть выражена в виде скалярного произведения четырехвекторов плотности тока и потенциала (9.1), а с учетом выбранной калибровки Лоренца — через скалярное произведение трехмерных векторов плотности тока и векторного потенциала. По аналогии с классическим выражением вводится оператор взаимодействия с внешним полем, который, очевидно, выражается через операторы рождения и уничтожения (9.2). Оператор взаимодействия разбивается на бесконечную сумму независящих друг от друга операторов, соответствующих взаимодействия с каждой модой излучения. Для каждой из мод существует сумма из двух операторов, соответствующих рождению и уничтожению фотона. В качестве состояний нулевого приближения выбираются произведения состояний невзаимодействующих подсистем (9.3). На этих состояниях матричные элементы рождения и уничтожения фотона в каждой из мод имеют вид (9.4). Для получения формул для вероятности перехода с излучением или поглощением следует воспользоваться стандартным методом теории возмущений.

 

(9.1)

Классическое выражение для энергии системы зарядов во внешнем электромагнитном поле (калибровка Лоренца)

(9.2)

Оператор возмущения, описывающий взаимодействие внешнего электромагнитного поля с системой зарядов

(9.3)

Волновые функция системы без учета взаимодействия

(9.4)

Ненулевые матричные элементы операторов рождения и уничтожения в каждой моде.

 

9.2. Теория возмущений (первый порядок)

Состояние системы при наличии взаимодействия между зарядами полем может быть разложено по стационарным состояниям (9.3) нулевого приближения (9.5).В рамках адиабатического приближения принято считать, что при t=-? система находилась в состоянии |n>, а взаимодействие между ее подсистемами отсутствовало (9.6). Подстановка разложения (9.5) в нестационарное уравнение Шредингера легко приводит к системе дифференциальных уравнений для зависящих от времени коэффициентов разложения (9.7), решение которой с начальными условиями (9.6) не представляет труда в случае слабого возмущения, обуславливающего малость всех зависящих от времени коэффициентов за исключением амплитуды нахождения в исходном состоянии (9.8). Согласно общим правилам квантовой механики, вероятность перехода в состояние q дается квадратом модуля амплитуды и оказывается пропорциональной времени (9.9), что позволяет ввести вероятность перехода в единицу времени (9.10). В случае конечного состояния с непрерывном спектром вводится вероятность перехода в бесконечно малый интервал dm (9.11).

 

(9.5)

Разложение состояний системы с взаимодействием по стационарным состояниям0-приближения.

(9.6)

Исходное состояние системы.

(9.7)

Система уравнений для зависящих от времени амплитуд переходов с излучением и поглощением.

(9.8)

Приближенное решение системы (9.7)

(9.9)

Вероятность перехода в состояние q к моменту времени t.

(9.10)

Вероятность перехода в состояние q в единицу времени.

(9.11)

Вероятность перехода в единицу времени в состояние с непрерывным спектом.

9.3. Вероятности переходов с излучением и поглощением света

В случае переходов между состояниями атомов с излучением света конечное состояние принадлежит к непрерывному спектру, что соответствует бесконечному числу направлений и частот излучаемого фотона (9.12). С учетом полученного выражения вероятность перехода с излучением фотона в одну выбранную моду оказывается пропорциональной увеличенному на 1 числу фотонов уже имеющихся в этой моде (9.13). Возникшие таким образом два слагаемых (пропорциональное числу имеющихся фотонов и независящее от числа фотонов) принято интерпретировать, как вероятности вынужденного и спонтанного излучения (9.14) Вероятность перехода с поглощением имеет сходный вид с (9.13), но не содержит слагаемого, описывающего спонтанный процесс (9.15).

Выражения, связывающие вероятности излучения и поглощения фотонов, настолько важны для многочисленных приложений, что представляется целесообразным записать из в виде зависимостей от более традиционных для экспериментальной физики величин. Вместо числа заполнения (числа фотонов) удобнее использовать понятие спектральной плотности интенсивности излучения в данной моде, представляющее собой поток энергии электромагнитного излучения заданной поляризации, приходящийся на заданный бесконечно малый интервал частот и распространяющийся в пределах бесконечно малого телесного угла (9.16). Очевидно, что вводимая величина должна быть пропорциональна произведению энергии одного фотона на их число и скорость перемещения в пространстве. При подсчете числа фотонов их концентрация в соответствующей выбранному пространственному направлению моде должна быть умножена на соответствующую плотность числа состояний. В отличии от выражения ранее приведенного выражения (7.12) тем, что учитывает не все состояния заданной энергии, а лишь те, что соответствуют распространению света заданной поляризации в заданном направлении.

Замена числа фотонов спектральной плотностью интенсивности излучения позволяет получить удобное для приложений выражение для связи между вероятностями излучения и поглощения света (9.17).

 

(9.12)

Число состояний, соответствующее излучение фотона в б.м. интервал частот и б.м. телесный угол.

(9.13)

Вероятность перехода между состояниями |n> и |q> с излучением света в заданную моду.

(9.14)

Вероятности спонтанного и идуцированного излучения

(9.15)

Вероятность поглощения света из заданной моды.

(9.16)

Связь спектральной плотности интенсивности излучения в элементарный телесный угол с числом фотонов в соответствующей моде.

(9.17)

Связь между вероятностями вынужденного и спонтанного излучения и поглощения света.

 

9.3. Коэффициенты Эйнштейна

. В случае изотропного излучения более разумной характеристикой является спектральная плотность объемной плотность энергии излучения (9.18), получающаяся из спектральной плотности интенсивности в результате интегрирования по углам и суммированием по поляризациям и, разумеется, делением на скорость распространения энергии в пространстве. Интегрирование по углам выражений для вероятностей излучения (9.17) приводит к широко известному соотношению между полными (просуммированными по направлениям и поляризациям) вероятностями радиационных переходов (9.19). В приведенном выражении так же учтена возможность вырождения атомных уровней (т.е. наличия различных состояний, обладающих одинаковой энергией) путем введения их статистических весов gi.

В силу того, что вероятности индуцированных радиационных переходов пропорциональны интенсивности излучния, оказывается удобным записывать их в виде произведения интенсивностей на независящие от числа фотонов коэффициенты (9.20). Таки образом введенные величины носят название коэффициентов Эйнштейна. Из соотношения (9.19) следует очевидная связь между этими коэффициентами (9.21). Интересно отметить, что классическая (нерелятивистская) квантовая механика оказалась неспособной последовательным образом объяснить природу спонтанного излучения. В рамах этой теории выражение для коэффициента Эйнштейна для спонтанных переходов вводилось феноменологически, исходя из требования возможности термодинамического равновесия между излучением и веществом.

 

(9.18)

Спектральная плотность объемой плотности энергии в случае пространственно изотропного излучения.

(9.19)

Полные (просуммированные по углам и поляризациям) вероятности переходов между верхним |u> и нижним |d> состояниями атома с излучением или поглощением фотона.

(9.20)

Коэффициенты Эйнштейна

(9.21)

Связь между коэффициентами Эйнштейна

 

9.4. Равновесное излучение

Установленная связь между вероятностями спонтанного и вынужденного излучения позволяет легко получить широко известное выражение для распределения по частотам спектральной плотности энергии излучения, находящегося в состоянии термодинамического равновесия с веществом или спектр излучения черного тела. При условии равновесия числа актов поглощения и излучения фотонов атомами в единицу времени должны равняться друг другу (9.22). Указанное соображение совместно с предположением о больцмановском распределении атомов по энергиям позволяет найти количество фотонов в моде, соответствующей энергетическому зазору между атомными уровнями (9.23) и рассчитать зависимость объемной плотности энергии излучения от его частоты (9.24). полученное соотношение, называемое распределением Планка, находится в прекрасном соответствии с экспериментальными данными. Входящий в выражение характерный для статистики Бозе-Эйнштейна множитель можно трактовать, как вероятность обнаружения фотона в состоянии с заданной энергией. Поскольку статистика Бозе-Эйнштейна реализуется для квантовомеханических объектов с целым спином, полученный результат находится в полном соответствии со сделанном в Лекции 7 выводом о наличии у фотона спина, равного 1. 

 

 

 

 

(9.22)

Условие равновесия между излучением и веществом: числа актов излучения и поглощения равны друг другу. ni- концентрация атомов в верхнеи или нижнем энергетическом состоянии.

(9.23)

Число электронов в одной моде равновесного излучения.

(9.24)

Распределение планка для равновесного излучения.

Ответственный за содержание: С. С. Смирнова, s.s.smirnova@spbu.ru

Поиск