СПбГУ

Санкт-Петербургский государственный университет

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

                                                   

Электрическое дипольное излучение

 

Электрическое дипольное излучение

10.1. Классическое рассмотрение

В рамках классической электродинамики электрическая составляющая поля в волновой зоне излучения атома Томсона, совершающего гармонические колебания, оказывается пропорциональной амплитуде его дипольного момента (10.1). Величина соответствующего вектора Пойтинга оказывается пропорциональной квадрата синуса угла между направлением колебаний излучающего атома и направлением на наблюдателя (10.2). Полная мощность, излучаемая атомом Томсона во всех направлениях, получается в результате интегрирования (10.2) по поверхности окружающей излучатель сферы большого радиуса (10.3). В случае излучающего ротатора излучение может рассматриваться как результат совместного излучения двух осцилляторов, совершающих гармонические колебания во взаимно перпендикулярных направлениях (10.4), при этом выражение для суммарной излучаемой мощность оказывается таким же, как и в случае линейного осциллятора.

 

(10.1)

Дипольное излучение классического атома Томсона.

(10.2)

Плотность потока энергии излучения атома Томсона

(10.3)

Полная мощность излучения атома Томсона (Q0 — амплитудное значения обобщенной координаты).

(10.4)

Плотность потока энергии излучения классическим ротатором.

 

10.2. Квантовомеханическое рассмотрение

Выражение для вероятности спонтанного излучения фотона в элемент телесного угла (10.5) существенно упрощается в случае излучения системой зарядов, размеры которой существенно меньше длины волны. Поскольку входящее в процедуру вычисления матричного элемента (10.5) интегрирование по пространственным координатам осуществляется в области, где волновые функции электронов существенно отличны от нуля, входящий в выражение экспоненциальный множитель может быть разложен в ряд Тейлора (10.6) с сохранением только первого слагаемого (10.7). Вычисление матричного элемента оператора импульса сводится к расчету матричного элемента векторного оператора дипольного момента. В связи с тем, что полученный в самом грубом приближении матричный элемент содержит оператор дипольного момента, соответствующее излучение называют дипольным. Последний оказывается удобно представить в виде разложения по круговым ортам. Как было показано ранее, каждая из проекций векторного оператора на круговые орты ведет себя при вращениях системы координат подобно одной из трех шаровых функций первого порядка. Подстановка упрощенного выражения для матричного элемента в общую формулу (10.5) для вероятности излучения фотона приводит к соотношению (10.8), выражающему вероятность дипольного излучения.

 

(10.5)

Вероятность спонтанного излучения фотона в бесконечно-малый телесный угол.

(10.6)

Приближение, связанное с малостью размеров атома по сравнению с длиной волны.

(10.7)

Матричный элемент оператора импульса

(10.8)

Вероятность излучения спонтанного дипольного фотона заданной поляризации в заданном направлении.

 

10.3. Теорема Вигнера-Эккарта

Процедура вычисления входящих в (10.8) матричных элементов может быть существенно упрощена и сведена к процедуре вычисления однократного интеграла от произведения радиальных волновых функций начального и конечного состояний оптического электрона (10.9). По существу сформулированное утверждение и составляет теорему Вигнера-Эккарта, существенно упрощающую нахождение матричных элементов типа (10.7). Упрощение состоит в том, что угловые зависимости начального и конечного состояний атома, а так же — компонент векторного оператора даются известными шаровыми функциями, интегралы от произведений которых могут быть вычислены и содержатся в справочных таблицах. Для вычисления интеграла по углам от произведения шаровых функций оказывается удобным разложить соответствующую конечному состоянию шаровую функцию по базису, образованному произведениями шаровых функций исходного состояния и функции, описывающей угловую зависимость оператора (10.10). Подстановка этого разложения в выражение для матричного элемента оператора дипольного момента с учетом ортогональности состояний с различными угловыми моментами и их проекциями сводит вычисление интеграла по углам к отысканию табличного значения 3j — символа (10.11). Т.о. для нахождения матричного элемента от любой проекции оператора дипольного момента на циркулярные орты оказывается достаточным вычислить лишь один одномерный интеграл по расстояниям, называемый приведенным матричным элементом.

В общем случае входящий в состав матричного элемента оператор может быть разложен по шаровым функциям. Для каждого члена такого разложения матричный элемент вычисляется с помощью теоремы Вигнера-Эккарта (10.12).

 

 

(10.9)

Разделение переменных при вычислении интеграла, соответствующего матричному элементу оператора

c — составляющей вектора дипольного момента.

(10.10)

Разложение угловой части волновой функции конечного состояния по базису из произведений шаровых функций

(10.11)

Вычисление интеграла по углам при помощи 3j — символов.

 

(10.12)

 

Теорема Вигнера-Эккарта

 

10.4. Правила отбора при дипольном излучении

Теорема Вигнера-Эккарта позволяет выразить вероятность спонтанного перехода, сопровождающегося дипольным излучением (10.8) через приведенный матричный элемент и 3j-символы(10.13). Полученное соотношение позволяет сформулировать правила отбора для переходов, сопровождающихся дипольным излучением, т. е. условия, выполнение которых необходимо для отличия от нуля матричного элемента оператора дипольного момента.

3j — символ отличен от нуля в случае, когда оказывается осуществимой соответствующая его индексам схема сложения моментов (10.14). помимо правил отбора по угловому моменту существует правило отбора по четности. Происхождение этого правила отбора связано с тем, что в случае электромагнитных взаимодействий инверсия системы координат не должна приводить к изменению вероятности перехода. В свою очередь это означает. Это означает, что четность начального и конечного состояний должна быть различной: в этом случае инверсия координат изменяет знак произведения волновых функций, что компенсирует изменение знака вектора дипольного момента.

Сформулированные правила отбора означают, что излучаемый спонтанный фотон должен иметь отрицательную четность и уносить с собой единичный момент количества движения. Именно фотонам с такими свойствами в приведенной на лекции классификации соответствует электрический дипольный фотон.

 

(10.13)

Выражение для вероятности спонтанного радиационного перехода с излучением света заданной поляризации в заданном направлении.

(10.14)

 

Правила отбора по угловому моменту

 

10.5. Угловое распределение излучения

Для анализа углового распределения дипольного излучения удобно воспользоваться той же системой координат, в которой производилось разложение оператора дипольного момента по циркулярным ортам. В этой системе для излучения, распространяющегося вдоль направления, составляющего угол J с ортом e0, допустимы два взаимно ортогональных (и ортогональных направлению распространения света) направления поляризации. Один из возможных ортов, задающих направление поляризации, удобно направить вдоль оси Х (10.15), при этом другой орт будет лежать в плоскости (YOZ).

Согласно правилам отбора возможны оптические дипольные переходы между состояниями, магнитные квантовые числа которых различаются не более, чем на 1. Переходы между состояниями с одинаковыми значениями магнитных квантовых чисел описываются 3j — символом с c =0. В результате такого перехода возникает так называемое p - излучение, вероятность появления фотона которого дается соотношением (10.16), согласующимся с классическим выражением (10.2) для углового распределения интенсивности излучения осциллятора, совершающего колебания вдоль оси  Z.

Излучение, возникающее при переходе между состояниями с D M=+ 1 , называют соответственно s + и s -. Для таких переходов оказываются отличными от нуля 3j — символы с c =+ 1. Соответствующие скалярные произведения ортов поляризации и сферических компонент оператора дипольного момента дают угловую зависимость вероятности излучения (10.17), полностью соответствующую диаграмме направленности ротатора (10.4).

Полная вероятность перехода (10.18) вычисляется в результате интегрирования выражений для углового распределения вероятностей по углам и суммирования полученных полных вероятностей p и s излучений.

 

(10.15)

Два орта линейной поляризации в случае излучения, распространяющегося под углом

J к оси Z. 

(10.16)

Угловое распределение

p — излучения .

(10.17)

Угловое распределение

s — излучения.

(10.18)

Вероятность спонтанного излучения на все возможные магнитные подуровни нижнего состояния.

 

10.6. Сила осциллятора и сила линии перехода

Силой линии перехода называют квадрат приведенного матричного элемента оператора дипольного момента (10.19). указанная величина весьма удобна при сравнении теоретических и экспериментальных результатов, поскольку с одной стороны содержит только радиальные интегралы от произведений теоретически определяемых радиальных частей волновых функций уровней перехода, с другой — позволяют легко вычислять определяемые на эксперименте вероятностные характеристики радиационных переходов. Одной из важнейших характеристик перехода является сила осциллятора (10.20).

(10.19)

 

(10.20)

 

Ответственный за содержание: С. С. Смирнова, s.s.smirnova@spbu.ru

Поиск