СПбГУ

Санкт-Петербургский государственный университет

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

                                                   

Релятивистские обобщения уравнения Шредингера

 

13.1. Функция Лагранжа для неквантовой релятивистский частицы в электромагнитном поле

Основная идея полученhия релятивистски инвариантного квантовомеханического уравнения для электрона состоит в замене в классической (неквантовой) функции Гамильтона соответствующих физическим величинам переменных на операторы. Для реализации намеченной программы в качестве отправной точки может быть использовано хорошо известное выражение для релятивистской функции Лагранжа (13.1). Для проверки правильности выбора этой функции полезно получить с ее помощью релятивистское уравнение движения заряда в электромагнитном поле (13.2). Как известно из курса теоретической механики, уравнение движения получается в результате подстановки функции Лагранжа в систему уравнений (13.3). Простые, но несколько громоздкие математические выкладки (13.5) приводят к хорошо известному из классической (неквантовой) релятивистской электродинамики выражению для скорости изменения импульса заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле (13.6) и получить известное выражение для соответствующей функции Гамильтона (13.7).

 

(13.1)

Функция Лагранжа для релятивистской заряженной частицы в электромагнитном поле.

(13.2)

Уравнение движения релятивистской заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле.

(13.3)

Связь между функцией Лагранжа и уравнением движения.

 

(13.4)

Промежуточные выкладки при получении релятивистского уравнения движения.

(13.5)

Уравнение движения релятивистской частицы во внешнем электромагнитном поле.

(13.6)

Функция Гамильтона для релятивистской неквантовой частицы во внешнем электромагнитном поле.

 

13.2. Уравнение Шредингера

Для перехода от классическому к квантовому описанию достаточно заменить некоторые физические величины на соответствующие операторы (13.7). Для проверки работоспособности указанной идеи целесообразно осуществить указанную замену в функции Гамильтона (13.6), переписанной в нерелятивистском пределе (13.8). В результате получается нерелятивистское уравнение Шредингера, содержащее одно «лишнее» слагаемое, имеющее смысл энергии покоя электрона (13.9). Последнее легко устраняется переопределением уровня отсчета энергии за счет не изменяющего никаких физических результатов домножения всех волновых функций на одинаковый фазовый множитель (13.10).

(13.7)

Способ перехода от классического к квантовому описанию.

(13.8)

Приближенное выражение для функции Гамильтона частицы, движущейся с малыми скоростями.

(13.9)

Нерелятивистское уравнение Шредингера.

(13.10)

Классическое уравнение Шредингера в случае отсутствия магнитного поля.

 

13.3. Уравнение Клейна-Гордана

Переход к операторам в релятивистском уравнении (13.6) затруднен необходимостью выполнять процедуру вычисления корня из оператора. Наиболее естественным выходом из указанной проблемы является возведение в квадрат исходного неквантового уравнения (13.11). Замена физических величин на их операторы по правилу (13.7) приводит к уравнению Клейна-Гордона (13.12). В качестве проверки полученное уравнение может быть протестировано на хорошо известном частном случае ультрарелятивистской частицы с нулевыми зарядом и массой — фотоне. В указанном простейшем случае уравнение Клейна-Гордона сводится к общеизвестному однородному уравнению Д’Аламбера для электромагнитных волн в вакууме (13.13).

 

(13.11)

Исходное уравнение для вывода уравнения Клейна-Гордана.

(13.12)

Уравнение Клейна-Гордона.

(13.13)

Уравнение Д’Аламбера для фотона в вакууме.

 

13.4. Уравнение Паули

Для учета эффектов, связанных со спином электрона, полученное ранее выражение, связывающее оператором момента количества движения с оператором вращения на бесконечно-малый угол системы с целочисленным моментом количества движения (13.14), можно обобщить на случай систем с полу целым (в частном случае s=1/2) моментом импульса (13.15).

Полученные ранее выражения для матриц оператора вращений частицы со спином 1/2 (3.13—3.19) позволяют получить матричные представления для оператора спина (13.16), использующие спиновые матрицы Паули (13.17). Непосредственными вычислениями легко проверяются следующие свойства матриц Паули (13.18).

Паули была предложена модификация нерелятивистского уравнения Шредингера, учитывающего не только эффекты, связанные со взаимодействием с магнитным полем орбитального движения электрона, но и спиновые эффекты (уравнение Паули) (13.19).

 

(13.14)

Связь между оператором бесконечно-малого поворота и оператором момента импульса.

(13.15)

Введение оператора спина для электрона.

(13.16)

Получение связи междуz-проекциейоператора спина и соответствующей спиновой матрицей Паули.

(13.17)

Выражение для оператора спина через спиновые матрицы Паули.

(13.18)

Свойства матриц Паули.

(13.19)

Предложенный Паули вариант обобщения уравнения Шредингера. В случае отсутствия магнитного поля (A=0) уравнение Паули превращается в классическое уравнение Шредингера.

 

13.5. Взаимодействие электрона с внешним магнитным полем

Для помещенного во внешнее магнитное поле атома с одним электроном уравнение Паули предсказывает появление двух добавочных энергий, которые удобно интерпретировать, как результат взаимодействия с полем магнитных дипольных моментов, обусловленных орбитальным и спиновым движениями электрона (13.20). При этом связь орбитального момента с механическим (13.21) оказывается точно соответствующей результатам классических расчетов гиромагнитного отношения (13.22). Что же касается спиновых моментов, то соответствующее гиромагнитное отношение оказывается точно в два раза превосходящим классическое значение.

Наличие в уравнении спиновых матриц Паули (или оператора спина) подразумевает наличие в приведенном операторном равенстве волновой функции в виде столбца из двух компонент, каждая из которых соответствует определенной ориентации спина.

 

(13.20)

Возникновение добавки к энергии атома, помещенного во внешнее магнитное поле.

(13.21)

Связи орбитального и спинового моментов атома с механическими моментами.

(13.22)

Классический расчет орбитального гиромагнитное отношения.

 

13.6. Уравнение Дирака

Уравнение Дирака может быть введено как результат объединения идей, приведших к формулировкам уравнений Клейна-Гордона и Паули. Наличие квадратичных операторных слагаемых делает возможным понизить порядок уравнение за счет введения двух двухкомпонентных волновых функций вместо одной (12.24) или их симметричной и антисимметричной линейных комбинаций (12.25). Объединение двух двухкомпонентных волновых функций в одну четырехкомпонентную позволяет формально придать уравнению Дирака привычный для классической квантовой механики вид линейного уравнения для волновой функции (12.25).

 

 

(13.23)

Предложенный Дираком вариант объединения идей, использованных в уравнениях Клепше-Гордана и Паули.

(13.24)

Понижение степени уравнения Дирака

(13.25)

Результат почленного сложения и вычитания уравнений (13.24)

«»

 

 

(13.26)

 

Формальной сведение системы из двух уравнений к одному за счет увеличения числа компонент волновой функции.

 

(13.27)

 

«Стандартная» формулировка уравнения Дирака

Ответственный за содержание: специалист управления по связям с общественностью С. С. Смирнова, s.s.smirnova@spbu.ru

Поиск