СПбГУ

Санкт-Петербургский государственный университет

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

                                                   

Приложение 1. Свойства корреляционных функций

 

Функции когерентности B(t) и корреляции R(t), определяющие связь двух значений случайной величины в произвольные моменты времени, были определены через двумерную плотность распределения вероятности [ см. (1.6), (1.7),(1.8) основного текста].

Для эргодических процессов эти же функции были определены усреднением произведения двух текущих значений случайного процесса при сдвинутых аргументах. [см.(1.12) основного текста ].

Приведём доказательство основных свойств корреляционных функций.

1.Из определения этих функций (1.6) , (1.12) следует, что при t=0

 — мощность случайного процесса.

2. Функция корреляции четная функция.

Действительно :

.

3. Функция R(t) есть невозрастающая функция.

Это свойство следует из равенства:. Или

, беря среднее по времени от обеих частей этого равенства, получаем:.

4. Функция корреляции детерминированного процесса.

Пример 1.

Заметим , что при конечном времени интегрирования Т корреляционная функция имеет член, описывающий осцилляции по аргументу, убывающие как 1/T.

Пример 2. Функция корреляции для детерминированной перидической функции.

Так как функция x (t) представлена рядом по полной системе ортогональных функций, то в результате вычисления интегралов (аналогичных тому, который был вычислен в предыдущем примере) будут не равны нулю лишь члены с одинаковыми частотами. Это даст для искомой корреляционной функции следующий результат:

Аналогично можно убедиться, что и взаимная корреляционная функция двух периодических функций будет содержать только те частоты, которые имеются в обеих функциях.

Ответственный за содержание: С. С. Смирнова, s.s.smirnova@spbu.ru

Поиск