СПбГУ

Санкт-Петербургский государственный университет

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

                                                   

1. Характеристики и свойства случайного процесса

Случайный процесс описывается статистическими характеристиками, называемыми моментами. Кроме того, важнейшими характеристиками случайного процесса являются его стационарность и эргодичность, а также спектр мощности.

 

1.1.Определение моментов

Одномерная плотность распределения вероятности W(x,t) определяет вероятность

(1.1)

того, что случайная величина x (t) лежит в интервале с помощью функции W(x,t) можно провести усреднение как случайной величины x (t), так и любой функции от нее.

Средним значением случайного процесса или его первым моментом называется интеграл

(1.2)

Второй начальный момент случайного процесса описывается интегралом

(1.3)

и определяет среднюю мощность случайного процесса.

При анализе случайных процессов часто интерес представляет флуктуационная составляющая. Введем понятие центрированного случайного процесса

Второй центральный момент определяет мощность флуктуационной составляющей случайного процесса и называется дисперсией

(1.4)

Аналогично можно определить также моменты случайного процесса более высокого порядка.

Таким образом, используя одномерную плотность распределения вероятности можно получить параметры случайного процесса, которые являются усреднением по множеству (ансамблю) реализаций данного случайного процесса в каком либо его «сечении», то есть в фиксированный момент времени t. Но задание одномерной плотности распределения вероятности не дает возможность определить характер изменения случайного процесса во времени и не характеризует взаимосвязь случайного процесса в различные моменты времени. Для этого вводят понятие двумерной плотности распределения вероятности , описывающей связь двух значений и в произвольные моменты времени и .

( 1.5)

С помощью двумерной плотности распределения вероятности можно определить автокорреляционную (ковариационную) функцию

(1.6)

а также автокорреляционную функцию центрированного случайного процесса

(1.7)

или

(1.8)

 

1.2. Стационарность случайного процесса

Случайный процесс называется стационарным, если одномерная плотность распределения вероятности и, следовательно, среднее значение и дисперсия случайного процесса не зависят от времени, а двумерная плотность распределения вероятности и автокорреляционная функция зависят только от разности временных аргументов , где .

Если многомерный закон распределения вероятностей распределения мгновенных значений, взятых в разные моменты времени, не зависят от принятого начала отсчёта, а зависят только от интервалов между выбранными моментами

,

то такой процесс стационарен в узком смысле. Если независимость от начала отсчёта выполняется только до второго (корреляционного) момента (включая первый), то такой процесс называют стационарным в широком смысле.

 

1.3. Эргодичность случайного процесса

Случайный процесс называется эргодическим первого порядка, если его первый момент, полученный усреднением по множеству реализаций (1.2), с вероятностью сколь угодно близкой к единице совпадает со средним значением, полученным усреднением по времени одной достаточно длинной реализации.

Случайный процесс называется эргодическим второго порядка, если его корреляционная функция (1.6), с вероятностью сколь угодно близкой к единице совпадает со средним значением произведения случайного процесса при сдвинутых аргументах, полученным усреднением по времени одной достаточно длинной реализации.

Параметры эргодического случайного процесса могут быть определены так:

, , (1.9).

Усреднением по времени могут быть найдены также автокорреляционные функции эргодического случайного процесса

, (1.10).

В данной работе предполагается, что аддитивно добавленный к полезному сигналу «шум» является эргодическим, случайным процессом.

1.4. Свойства корреляционных функций

Корреляционные функции — важнейшие характеристики случайных процессов.

Приведем их основные свойства:

1. (1.11)

2. (1.12)

3.

Формально можно вычислить автокорреляционную функцию (1.10) и для детерминированного процесса, например, для периодической функции

автокорреляционная функция описывается следующим выражением

(1.13).

 

Для периодической функции, представимой рядом Фурье

аналогично получаем

(1.14).

Таким образом, автокорреляционная функция периодической функции текущего времени t является также периодической функцией от аргумента - величины временного сдвига.

Ответственный за содержание: С. С. Смирнова, s.s.smirnova@spbu.ru

Поиск