Лекция 02.
Л и т е р а т у р а  к курсу лекций.
А. Программа МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. (Рабочая программа курса "Общая физика".       Aннотированная. 2002 / 03 уч. г. Часть 2.)
     (Ссылки на программу и заголовки вопросов даются в формате: {Пр. m. S.} nQ, где      m  № раздела, S  заглавие раздела, n  № вопроса, Q  вопрос. В скобках {}       необязательные части ссылки.)

Б. Руководства. Список из программы А, не сокращенный для лекций. (Ссылки даются в  	формате: [№]: §§ №, №.)

[1]. Сивухин Д.В. Общий курс физики, Т. II. Термодинамика и молекулярная физика. М.,         1975‚… 2002.
[2]. Фриш С.Э., Тиморева А.В. Курс общей физики, T. I . М., 1962 и 2006 (более                                       ранние  другая     нумерация параграфов).
[3]. Молекулярная физика жидкостей в курсе общей физики. (Соловьев В.А.), Л., 1983,              2004.
[4]. Соловьев В.A.‚ Aджемян Л.Ц.‚ Фриш М.С. Избранные вопросы молекулярной физики.       1. Методы термодинамических преобразований. 2. Растворы. СПб‚ 1999. 
[5]. Кикоин И.К., Кикоин А.К. Молекулярная физика. М., 1976.
[6]. Матвеев А.Н. Молекулярная физика. М., 1971.
[7]. Рейф Ф. Статистическая физика. М., 1977.
[8]. Фейнмановские лекции по физике. Т.4, М., 1965.
[9]. Ландау Л.Д., Ахиезер А. И., Лифшиц Е.М. Курс общей физики. (Механика и             молекулярная физика). М., 1965.
[10]. Де Бур Я. Введение в молекулярную физику и термодинамику. М., 1962.
[11]. Кричевский И.Р. Понятия и основы термодинамики. М., 1970.
[12]. Поль Р.В. Механика, акустика и учение о теплоте. М., 1973.
[13]. Конспект лекций по физике для студентов физического факультета ЛГУ                (Молекулярная физика и термодинамика). (Толстой Н.А.). Л., 1966.
[14]. Методические указания по общему курсу физики (некоторые вопросы               термодинамики). (Спартаков A.A.‚ Толстой Н.A.). .Л.‚ 1990.
[15]. Хуанг К. Статистическая механика. 1964.
[16]. Сивухин Д.В. Общий курс физики.  Т. 1. М.‚ 1974   2002.
[17]. Сивухин Д.В. (редактор). Сборник задач по общему курсу  физики.   Термодинамика  	и  молекулярная физика.  М.‚ 1976.
[18]. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. М., 1979. (В более поздних изданиях изменены    номера многих задач. В ссылках вида “[18], задача №…” будут даваться также (в          кавычках) ключевые  слова или формулы для поиска задачи по новым изданиям.)

ГЛAВA 2. РAСПРЕДЕЛЕНИЕ МОЛЕКУЛ ПО СКОРОСТЯМ: ПОСТAНОВКA ЗAДAЧИ И ОБЩИЕ СВОЙСТВA РAСПРЕДЕЛЕНИЙ
 
Литература: [1]:  §§  (70), 71, 72. [2]: §§ 43‚ 66.
	1“Пространство” скоростей. 2Распределение по скоростям: плотность числа молекул и плотность вероятности. 3Нормировка. 4Вычисление средних. 5Распределение вероятности для вектора скорости как совместное распределение для его компонент. 6Случай независимости частных распределений. 7Распределение по скоростям для молекул, налетающих на площадку. 8Об обозначениях и названиях. Пояснения и советы.
	1“Пространство” скоростей. Термин “пространство” (в переносном смысле) широко используется в разных областях физики и математики для краткости и наглядности. Пространство скоростей для одноатомных молекул — это наглядное изображение (как на карте) множества всевозможных значений   вектора скорости  . Любому значению  отвечает изображающая точка в этом пространстве —точка, радиус-вектор которой в принятом масштабе (например, 1см~100м/с) равен. Пространство скоростей одной молекулы (в дальнейшем “пространство  {}”)  является трехмерным: на декартовых координатных осях вместо x, y, z откладываются от начала координат  3 отрезка ux, uy, uz — проекции вектора . Системе из N молекул отвечает N изображающих точек в пространстве {}. Для краткости будем называть эти точки просто молекулами.
	Наряду с пространством  {} можно вводить 6-мерное пространство координат и скоростей {}, точки которого полностью изображают механические состояния молекулы. Вместо скоростей можно пользоваться импульсами; пространство координат и импульсов {} называют фазовым. Микроскопическое состояние системы из N одноатомных молекул полностью задается набором их координат и скоростей (или импульсов), т.е. положениями N изображающих точек в 6-мерном пространстве.
	(Другой способ изображения микроскопического состояния такой системы, который в нашем курсе не будет использоваться, — одна точка в 6N-мерном пространстве.) 
 	Для многоатомных молекул можно задавать конфигурации положениями всех атомов, либо положением центра инерции и внутримолекулярными координатами (например, углами ориентации главных осей инерции, если молекулы жесткие); соответственно добавятся и обобщенные скорости — производные от внутримолекулярных координат. Состояние нежесткой s-атомной молекулы изобразится точкой в 6s-мерном пространстве. 
	В основном тексте этой главы рассматривается только пространство скоростей молекулы {}. Предполагается, что упоминания в дальнейшем пространств, описывающих другие характеристики ее состояния, будут понятны как естественное обобщение.
	Упомянем еще, что в математике применяют и другие расширения понятия “пространство”. Используют, например, “функциональные пространства”, роль векторов в которых играют функции того или иного класса; имеется в виду, что некоторым операциям над функциями можно поставить в соответствие операции над векторами.
	2Распределение по скоростям: плотность числа молекул и плотность вероятности. В главе 1 говорилось о невозможности детального микроскопического описания макросистем. Объектами этого описания являлись бы координаты и скорости всех молекул, которые можно считать пронумерованными. (Пока нас будут интересовать только скорости, т.е. положения всех молекул в пространстве скоростей.)  
	В качестве менее детального, но все еще микроскопического описания, мы можем поставить вопрос о том, сколько молекул имеет ту или иную, наперед заданную скорость. Сразу же придется заметить, что такой вопрос в рамках классической механики только на первый взгляд может показаться осмысленным: правильный, но абсолютно бесполезный ответ на него — “нуль” (точнее — “множество меры нуль”). Действительно, возможные значения скорости в классической механике составляют непрерывное множество (континуум), тогда как множество молекул дискретно (и даже конечно, если система ограничена). Вопрос на самом деле не следует понимать буквально, но можно придать ему вполне рациональный смысл, уточнив постановку задачи, как будет сделано ниже.
	На экзамене Вы можете, конечно, сразу начинать с уточненной формулировки задачи о распределении молекул по скоростям, опустив вводные соображения, с которых начинался предыдущий абзац. Однако экзаменатор может предложить вопрос о том, как ставится проблема в случае, когда состояние молекулы описывается переменной,  способной принимать не непрерывный, как , а дискретный набор значений. Такие ситуации возникают, когда состояния молекул описываются не классической, а квантовой механикой (вернее, когда классического приближения недостаточно), и хотя постановка задачи о распределении по квантовым состояниям проще, чем в классическом случае, мы пока отложим ее рассмотрение (см. гл. 9).
	Для уточнения поставленного вопроса выделим в пространстве скоростей ячейку “объема”  — элементарный объем (в  декартовой  системе  координат = duxduyduz; кавычки у слова “объем” мы больше не ставим; обозначение d3  напоминает о трехмерности; скаляр  не следует путать с вектором разности двух близких векторов.) Мы далее будем предполагать, что все пространство скоростей разбито на такие ячейки, которые удобно, хотя и необязательно, считать равновеликими. Ячейку, содержащую точку , будем обозначать  [читать следует “(скоростной) объем , накрывающий значение ”].
	Теперь  можно поставить вопрос о распределении молекул по ячейкам. Обозначим через  число молекул, скорости которых лежат в объеме, указанном в скобках. Прежде всего, заметим, что это — случайная величина: взаимодействие молекул при их беспорядочном тепловом движении хаотическим образом изменяет их скорости, а следовательно и число молекул в любом заданном. Если рассматриваемая система содержит достаточно большое общее число молекул N, то объемы  можно выбрать как макроскопически бесконечно малые (см. главу 18), и тогда следует рассматривать число  аналогично другим макроскопическим величинам. Это значит, во первых, что имеет смысл говорить только о его среднем значении  (усредненном по воображаемому  ансамблю одинаковых систем, находящихся в одинаковых условиях), причем символ усреднения ¯ или < > допустимо и не писать; и, во-вторых, можно утверждать, что последнее  пропорционально  (а также N, но об этом после). Коэффициент пропорциональности может зависеть от . Обозначая его n(), имеем:
				.	(2.1)
Функция n(), определяемая формулой (2.1), называется функцией распределения или, более точно, (числовой) плотностью распределения молекул по скоростям (второе название предпочтительнее, так как первое, или близкие к нему по звучанию, применяют и к другим функциям). 
	Как мы только что сказали, среднее число изображающих точек в любом скоростном объеме пропорционально полному числу молекул в системе. С учетом этого факта, полезно ввести среднюю долю молекул, скорости которых принадлежат объему:
				(2.2)
Эта величина имеет также более глубокий смысл вероятности того, что какая-то (все равно, какая) молекула имеет скорость, принадлежащую указанному элементарному объем. Функция , определяемая уравнением (2.2), представляет собой функцию распределения вероятности, или плотность вероятности, для.
	Введение понятия вероятности имеет важное идейное значение, которое вы вполне оцените позже, при изучении теории вероятностей (курс математики, 5 семестр). Сейчас вам будет достаточно познакомиться с языком, применяемым в этой теории, и с принципиальным подходом к определению величин вероятностей событий. Говорят, что событие А имеет вероятность WA [или W(A)], если при “достаточно большом” общем числе испытаний N число испытаний с благоприятным исходом (т.е. с осуществлением события А) “с большой точностью” оказывается равным . В нашем случае испытание должно дать ответ на вопрос, принадлежит ли скорость рассматриваемой молекулы объему ; очевидно, что получение ответа на такой вопрос для всех N молекул эквивалентно N‑кратному повторению данного испытания для одной молекулы, что и оправдывает название “вероятность” для dW.
	Мы не будем уточнять смысл слов, взятых выше в кавычки; напрашивается формула вида , но строгий анализ обнаруживает, что в качестве определения понятия вероятности она неудовлетворительна. В нашем курсе смысл величины в (2.2) как вероятности будет только иногда использоваться активно. В большинстве случаев Вы можете произвольно выбирать между величинами  и : первая имеет более простой, наглядный смысл (и поэтому мы будем чаще использовать ее), использование второй полезно для привыкания к новому кругу понятий. Заметим, что в [1] понятию вероятности и основным свойствам этой величины посвящен специальный параграф, где в качестве примеров случайных событий рассматриваются результаты бросаний монеты или игрового кубика; изучать этот параграф (§ 70) нет необходимости, но Вы можете использовать его как дополнение к материалу лекций, если эти примеры покажутся вам более наглядными.
	3Нормировка. Функции распределения (2.1) и (2.2) обладают важным свойством. Интегрируя (2.1) по всему пространству скоростей, мы получим полное число молекул:
	                          .           (2.3)
Интеграл в левой части (2.3) называется нормировочным; принято говорить, что плотность распределения молекул по скоростям “нормирована” на число молекул в системе. Разделив обе стороны этого равенства на N, получим:
		                   	(2.4)
— плотность вероятности нормирована на единицу. Интеграл в левой части (2.4) имеет смысл вероятности того, что скорость молекулы имеет хоть какое-то значение; это событие достоверное, и его вероятность равна единице. 
	Часто бывает, что теория позволяет найти функции  с точностью до неизвестного постоянного множителя (ниже, в (3.1) это А). Условия нормировки (2.3) и (2.4) применяются тогда для определения этого множителя, который принято называть нормировочным.
	Если в (2.3) и (2.4) интегралы по всему пространству скоростей заменить на интегралы по некоторой области С этого пространства, то (2.3), очевидно, будет выражать число молекул, скорости которых лежат в области С, а (2.4), как следствие,— вероятность того, что этой области принадлежит скорость какой-то выделенной молекулы. Равенство (2.4) будет тогда частным случаем одного из основных свойств вероятностей — теоремы сложения: вероятность осуществления одного из несовместимых событий равна сумме их вероятностей:
				W(AB) = W(A) + W(B). 
	4Вычисление средних. Знание функций распределения нужно для теоретического вычисления макроскопических величин, которые, как сказано в гл. 1, представляют собой средние значения каких-то функций микроскопических переменных; сейчас речь будет идти об усреднении функций от скорости одной молекулы. 
	Эта задача может показаться искусственной, поскольку макроскопические величины обычно определяются совокупным действием многих молекул, вообще говоря, всех молекул системы. Однако очень многие величины представляют собой просто суммы однотипных вкладов отдельных молекул; к таким величинам относятся, например, давление и внутренняя энергия газов (в состояниях, когда газ может считаться идеальным). (Наоборот, величины, зависящие от взаимодействия молекул между собой, не выражаются в виде таких простых сумм.)   
	Пусть  — интересующая нас функция. Мы должны применить обычное правило вычисления среднего арифметического (1.1) к значениям  для всех микросостояний, отвечающих определенному макросостоянию изучаемой системы; пусть, для определенности, речь идет о состоянии термодинамического равновесия при какой-то температуре. Достаточно очевидно, что ансамбль всевозможных состояний данной молекулы практически совпадает с ансамблем одновременных состояний всех молекул системы. По этому последнему ансамблю мы и будем проводить усреднение. Итак,
			 	(2.5)
В третьем выражении  перегруппированы слагаемые в числителе — для всех молекул, скорости которых   принадлежат объему  , величина  имеет одно и то же значение, — и сумма по молекулам этой группы дает подынтегральное выражение; суммирование по всем таким группам эквивалентно интегрированию по всему пространству скоростей (в дальнейшем обозначение области интегрирования  будет опускаться). Учитывая (2.2) и далее (2.3), (2.4), запишем несколько часто применяемых выражений, эквивалентных (2.5):
	 			=;	(2.6)
			==.	(2.7)
(2.6) часто рассматривают как определение среднего значения. В первом выражении (2.7) N в знаменателе (2.5) заменено на нормировочный интеграл (2.3); второе выражение (2.7) отличается от (2.6) заменой единицы на интеграл (2.4).
	Может показаться, что последние два выражения представляют собой излишнее усложнение. В действительности они (как и вообще аналогичные формулы) очень полезны, когда плотность распределения определена с точностью до множителя, который  в них сокращается (обычно это нормировочный множитель); в частности, при их использовании отпадает необходимость вычислять нормировочные постоянные. При решении задач на семинарах, вы можете убедиться в экономичности формул (2.7).
 	Из формулы (2.6) вытекают правила, которое мы уже использовали в гл.1: среднее от (алгебраической) суммы двух или нескольких величин равно соответствующей сумме их средних; постоянный (т.е. не случайный) множитель выносится за знак усреднения. Иначе говоря, усреднение есть линейная операция:
				.                                                 	  (2.8)
	5Распределение вероятности для вектора скорости как совместное распределение для его компонент. Выражая вектор скорости как совокупность трех компонент, , перепишем формулу (2.2) в эквивалентной форме: 
	    	(2.9)
Слева теперь в явном виде записано, что нас интересует одновременное осуществление трех событий — три компоненты вектора скорости должны лежать в интервалах (ux, dux), (uy, duy), и (uz, duz). Соответственно числовая плотность распределения по скоростям Nw() ≡ n(uх, uy, uz) представлена как функция трех аргументов. 
	Далее, здесь и до конца следующего раздела (п.6), мы для упрощения вида формул ограничимся двумя компонентами ux, uz (причем uz надо будет понимать как “все компоненты, кроме ux”); кроме того, вместо ux, uz будем писать x, z. Скобки < > у <dN> писать не будем; о допустимости этого упрощения уже говорилось. Напомним еще, что ∫dz означает, в сущности, “сумма по всем событиям, состоящим в попадании молекулы (или, правильнее, ее изображающей точки) во всевозможные интервалы (z,dz)”.
	Перепишем формулу (2.9) в новых обозначениях:
	                dN(x,dx; z,dz) = NdW(x,dx; z,dz) = Nw(x,z)dxdz,	(2.10)
где dW(x,dx; z,dz) — совместная вероятность двух событий (x,dx) и (z,dz); w(x, z) — плотность совместной вероятности. Найдем число молекул dN(x,dx), попадающих в интервал (x,dx) при всех возможных значениях z, а также вероятность dW(x,dx) = dN(x,dx)/N попадания любой выделенной молекулы в этот интервал. По теореме сложения вероятностей, для этого надо проинтегрировать dW(x,dx; z,dz) по всем z: 
            dN(x,dx) ≡ N dW(x,dx) = N [∫dzw(x,z)]dx :: = N w(x)dx. 	(2.11) 
[Здесь и дальше обозначение (не общепринятое) ::= следует читать “или равно”, либо “с другой стороны, равно”: имеется в виду, что это не чисто математическое преобразование предыдущего выражения, а введение новой функции w(x)]. Аналогично определим
             dN(z,dz) ≡ N dW(z,dz) = N [∫dxw(x,z)]dz ::= N w(z)dz. 	(2.12) 
Величины dW(x,dx)=dN(x,dx)/N и dW(z,dz)=dN(z,dz)/N  называются (безусловными) частичными вероятностями попадания молекулы в интервалы (x,dx) и (z,dz). В (1.11), (1.12) введены также плотности (безусловных) частичных вероятностей w(x)=dN(x,dx)/Ndx и w(z)=dN(z,dz)/Ndz. Обе они, очевидно, нормированы на 1. [Прилагательные в скобках ( ) здесь и далее можно опускать.]
	6Случай статистической независимости компонент скорости. В нашем курсе будет рассматриваться, в основном, важный частный случай, когда плотность совместной вероятности распадается на два сомножителя, один из которых зависит только от x, а другой только от z: w(x,z)=X(x)Z(z) (аналогичным образом распадается, очевидно, и сама вероятность dW(x,dx; z,dz)). Тогда интегралы  в  (2.11),  (2.12) представляются  как  X(x)dx [] и Z(z)dz [], где выражения в квадратных скобках можно, не ограничивая общности, считать равными 1. Таким образом, X(x)=w(x), Z(z)=w(z)  (т.е. w(x,z)=w(x)w(z))  и
     dW(x,dx; z,dz)=dW(x,dx)dW(z,dz) :
совместная вероятность двух событий равна произведению их частичных вероятностей. Напечатанное курсивом правило относится, очевидно, не только к бесконечно малым вероятностям dW(x,dx) и dW(z,dz), но и к конечным вероятностям W(А) и W(В) любых событий А и В, но только при условии, что эти события независимы (подробнее см. ниже). Равенство
			  	 W(AB)= W(A)W(B)        	(2.13)
является необходимым и достаточным условием независимости событий А и В. Точно так же равенство w(x,z)=w(x)w(z) выражает условие статистической независимости случайных переменных x и z. 
	Используя это равенство при вычислении среднего значения, найдем для произведения двух статистически независимых переменных правило, уже использованное в главе 15:
                         	(2.14)
	Заметим, что в пп. 5 и 6 гл. 2 мы не могли бы обойтись рассмотрением числовых распределений, без активного использования понятия вероятности. Конечно, можно ввести, как обычно, для (2.11) и (2.12) плотности n(x) и n(z) (числовые частичные плотности распределения), но сформулировать с их помощью условие независимости было бы затруднительно. С другой стороны, иногда удобно пользоваться формулой n(x,z) = n(x) w(z) [где n(x,z) определено обычным равенством dN(x,dx; z,dz) = n(x,z)dxdz]. Более   естественным  примером   такого  подхода   будет   представление    в виде  n(u)w(q,j).
	Смысл понятий статистической зависимости и статистической независимости требует детализации. Определим условную вероятность dWусл(x,dx|z) — вероятность того, что х-компонента скорости попадет в интервал (x,dx) при условии, что z-компонента равна z (вернее, лежит в очень узком интервале (z,dz); точное значение его ширины, как мы увидим, не играет роли и не отмечается в обозначении; индекс усл тоже можно не писать). Эта вероятность равна отношению числа молекул в интервале (x,dx; z,dz) к полному числу молекул в интервале (z,dz), которое можно найти интегрированием (2.11) по всем х (результат дается формулой (2.12)):  
      dWусл(x,dx|z)=NdW(x,dx; z,dz)/NdW(z,dz),	(2.15)
причем множители dz, входящие в dW(x,dx; z,dz)  и  в NdW(z,dz), сокращаются. Отсюда  
       dW(x,dx; z,dz)= dW(z,dz)dWусл(x,dx|z).	(2.16)
Это общее правило умножения вероятностей, справедливое и для произвольных событий А и В:
			      	= W(A)Wусл(B|A)  :	(2.17) совместная вероятность наступления двух событий равна произведению вероятности первого события на (условную) вероятность второго при условии, что первое событие наступило.
	Независимость событий А и В означает, что условная вероятность Wусл(B|A) на самом деле не зависит от того, наступило ли событие A: она равна безусловной вероятности W(B). Точно так же статистическая независимость переменных x и z означает, как легко видеть, что условная вероятность dWусл(x,dx|z) не зависит от z, она равна безусловной вероятности dW(x,dx).
	Полезно будет подчеркнуть различие между функциональной зависимостью  переменных и их статистической зависимостью, которая называется корреляцией. Функциональная зависимость между x и z — это однозначная связь между значениями переменных, а корреляционная связь — зависимость функции распределения (плотности вероятности) для одной переменной от значения другой переменной. (Речь может идти, конечно, только об условной вероятности; плотность безусловной вероятности, как интеграл от плотности совместной вероятности, естественно, не может зависеть от переменной интегрирования.) Как следствие, среднее значение оказывается функцией от фактического значения z. Кроме того, .
	В качестве конкретного примера двух (или трех) переменных, подчиняющихся совместному распределению, мы рассматривали декартовы проекции вектора скорости . Аналогичным образом можно говорить о в (2.2) как о плотности совместной вероятности распределений 1) по абсолютным значениям скорости u и 2) по ее направлениям. Интегрирование   по направлениям даст w(u ), интегрирование по u  w(q,j) (в трехмерном случае; q,j полярные углы сферической системы координат). При отсутствии угловой зависимости w(q,j) = 1/4p стерадиан1, в общем случае w(q,j)·[dq dj] = (1/4p) sinq·[dq dj] стерадиан1. (Интервалу направлений в элементе объема  векторного пространства скоростей соответствует множитель u 2 sinq dq dj,  причем при независимости распределений по модулю и по направлениям 4pu 2 включается в w(u), (1/4p) — в w(q,j). Этим обеспечивается независимая нормировка множителей Z(z) и X(x) в (2.11), (2.12).)
	7Распределение по скоростям для молекул, налетающих на площадку. Рассмотрение статистики молекул, налетающих за малое  время dt на элементарную площадку dSx (перпендикулярную оси х) на границе газа (на стенке), или пересекающих  (в одну сторону) такую же мысленно выделенную площадку внутри газа, требуется во многих задачах. (Один из важнейших примеров, известный вам в упрощенной форме из школьного курса,  это вычисление давления газа.) Формулируя эту проблему, мы для краткости опустим знаки дифференциала при t и Sx, которые всегда можно восстановить в случае надобности, при рассмотрении конкретных задач теории сплошных сред (см. гл. 1). Конкретный выбор ориентации площадки также не ограничивает общности  достаточно заменить орт оси х на единичный вектор нормали к dS ; часто вводят и вектор . 
	Итак, нас интересует среднее число молекул, которые падают на площадку Sx  за время t, имея скорости, принадлежащие элементарному скоростному объему . Обозначим его (буква Z, от немецкого Zahl  число, вместо привычного N, будет удобнее нам в дальнейшем), и учтем, что оно пропорционально t, Sx и : 
			     = t Sx. 	(2.18)
(Пропорциональность tSx подтвердится далее детальным вычислением). Равенство (2.18) определяет новую функцию распределения , которая и используется в задачах, подобных перечисленным.
	Для нахождения этой функции нужно вычислить величину, стоящую в левой части (2.18), а для этого решить, какие именно молекулы типа столкнутся с площадкой Sx за время t. На рис. 2.1 показаны ось х, площадка Sx, какие-то молекулы 1, 2 и 3 и вектор скорости , отложенный в виде жирной стрелки от точки, в которой расположена   молекула  1;   вдоль   направления    из точек   1,  2  и  3