6Свойство [4]: динамический характер равновесия: 7Принцип  детального равновесия. Молекулы газа сталкиваются между собой, и при этом их скорости изменяются, что, вообще говоря, должно вести к изменению чисел молекул в отдельных скоростных ячейках. Равновесие означает такое состояние, при котором число молекул уходящих из любой ячейки  за какое-то время dt, в среднем компенсируется приходом в него молекул из других ячеек. Мы сможем найти равновесные значения dN , если выразим через них средние скорости процессов обмена молекулами между ячейками и потребуем, чтобы их алгебраическая сумма для каждой ячейки обращалась в нуль. Эта задача кажется необозримо сложной, но ее можно решить, применяя следующий фундаментальный принцип, являющийся следствием обратимости уравнений механики (их инвариантности по отношению к изменению направления времени):
	   Динамическое равновесие  может быть только детальным.
		(Заметим, что естественнее было бы называть это утверждение принципом детальности равновесия.)
	Под детальностью понимается следующее свойство. Пусть механическая система может находиться во многих состояниях и между ними возможны процессы перехода; их скорости, естественно, зависят от заселенностей состояний т.е. от чисел молекул в них Nj (j=1,2,3,…). Тогда в равновесии для любой пары состояний i и k должны в отдельности быть одинаковы скорости прямых и обратных переходов (i  k) и (k  i). 
	Для системы имеющей только два состояния это тривиальное следствие условия равновесия. Казалось бы, равновесие в системе, имеющей три возможных состояния, могло бы поддерживаться и при нарушении этого условия; действительно, даже при отсутствии обратных процессов  заселенности Nj могли бы оставаться постоянными за счет цикла (1231), если скорости процессов (12), (23), (31) одинаковы. Но они и в этом случае не могут отличаться от скоростей обратных процессов; иначе скорость прохождения всего цикла зависела бы от выбора положительного направления времени, а в микроскопических уравнениях механики нет ничего, что могло бы зависеть от этого выбора. Очевидно, что это рассуждение можно обобщить на системы с любым числом возможных состояний.
	В силу принципа детального равновесия, для нахождения  достаточно будет рассмотреть только парные столкновения между молекулами. Столкновений с участием трех и более молекул в газах относительно мало, но их учет и не понадобится: условие равновесия, найденное из рассмотрения какого-то одного класса процессов, автоматически будет инвариантно и по отношению к любым другим процессам. 
	8Свойство: инвариантность равновесия по отношению к парным упругим столкновениям. Рассмотрим среднее число столкновений dZ(1,2)(3,4) (в дальнейшем просто dZ), которые за время dt переводят пару столкнувшихся молекул газа из ячеек  в  ячейки . Это число будет пропорционально dt,  относительной скорости движения молекул и числам молекул в двух ячейках:
		 	dZ=S·····dt,		(3.23)
где S  коэффициент пропорциональности, зависящий от четырех скоростей 1, 2, 3, 4 и от минимального расстояния, до которого сближаются молекулы при столкновении. Аналогично число обратных процессов будет
		dZ = dZ(3,4)(1,2)=S···· dt. 	(3.24)
Условие равновесия требует dZ= dZ. Кроме того, мы должны учесть законы сохранения импульса (для молекул одинаковой массы):
				 		(3.25)
и энергии (для одинаковых абсолютно упругих сфер):
				u42 + u32 = u22 + u12.		(3.26)
	На основании уравнения (3.25) можно показать, что  . Используя также условие обратимости времени можно показать еще, что S = S. Мы не будем излагать эти достаточно громоздкие вычисления, с которыми вы можете познакомиться в [1], § 74 (или более детально в [15]), и ограничимся принципиально важным результатом: условие равновесия dZ= dZ сводится к равенству
			           ,		(3.27)
которое для распределения Максвелла (3.2) выполняется в силу (3.26).
	Заметим, что мы рассматривали только парные столкновения. Столкновения с участием большего числа молекул в разреженных газах происходят редко. Но даже если они играют заметную роль в ходе установления равновесного распределения по скоростям, на условие равновесия их существование не влияет: согласно принципу детального равновесия, достаточно потребовать равенства скоростей прямого и обратного переходов для любого типа возможных процессов. Если парные столкновения вообще происходят (т.е. если плотность не чрезмерно велика), то условие dZ=dZ автоматически будет выполнено при равновесии и для столкновений с участием любого числа молекул. 
	 
	9Вывод равновесного распределения из свойств и. Если свойство постулируется из независимых соображений, то полезно, прежде всего, упростить его, используя свойство . Вводя обозначение u=u2 и новую функцию f = ln n, перепишем  (3.27), как функциональное уравнение для f:
 	       f(u4) = f(u1) + f(u2)  f(u3),    если      u4 = u1 + u2  u3.   	(3.28)
(3.28)  почти общее определение линейной функции:
			   f(u) = d ± au.		(3.29)
Здесь d и a  пока не определенные константы; перед a удобно будет выбрать знак . Отсюда
				,		(3.30)
где A = ed /N.				
	Если примененный здесь способ решения функционального уравнения (3.28) (метод “угадай и проверь”) вызывает у вас чувство неудовлетворенности, просмотрите выше формулы (3.17)  (3.21) и текст между ними. В более простом случае (3.28) преобразование функционального уравнения в дифференциальное также выполняется почленным дифференцированием (здесь по u1 и u3; члены с u2 можно игнорировать).	10Свойство [6]: нормировка. Прежде всего, мы можем убедиться, что знак постоянной a  в (3.2) положителен: в противном случае нормировочные интегралы (2.3), (2.4) должны были бы расходиться.	(Конечно, мы могли бы иначе выбирать знак перед  в (3.8), (3.19), (3.29) ; тогда условие нормировки потребовало бы a<0, и пришлось бы вводить новое обозначение для a. Наш выбор сэкономил один шаг в выкладках. На экзамене вы можете забыть, какой знак полезнее писать в этих формулах (стремиться запоминать такие несущественные детали вообще вредно), и тогда проще всего будет заменить  a   на  a  непосредственно в (3.11), (3.12), (3.30)). 
	Для нахождения постоянной А в функции распределения (3.2) понадобится вычислить интеграл
			      1/A = 		(3.31)
(в дальнейшем будем писать вместо ux, uy, uz просто x, y, z). Поскольку подынтегральное выражение представляет собой произведение трех функций от x, от y и от z , тройной интеграл распадается на пройзведение трех одинаковых интегралов вида 
				(2I0) == .		(3.32)
Интеграл (2I0) называется интегралом Пуассона, его значение (3.32) (точнее, значение его безразмерной формы, с a=1) можно найти в математических таблицах.
	Интеграл Пуассона вычисляется замечательно простым и остроумным   приемом, с которым вам, возможно будет интересно познакомиться. Возведем его в квадрат, т.е. умножим сам на себя (причем в каждом из интегралов-сомножителей должна быть, конечно, своя переменная интегрирования):
				(2I0)2 =.
Двойной интеграл можно рассматривать как поверхностный по всей бесконечной плоскости, а элемент площади dxdy=dS можно заменить, переходя к полярной системе координат, на dr · rdj (r  радиус-вектор, j  полярный угол). Таким образом,
				(2I0)2 = = p/a
(оба интеграла вычисляются элементарно). Это ведет к (3.32).
	Итак, нормировочная постоянная в (3.2) равна 
				      A=(a/p)3/2..		(3.33)
	11Свойство [7]: некоторые интегралы, производные от интеграла Пуассона. Нам будут часто встречаться интегралы вида
				  In=.		(3.34)
При n=0 этот интеграл, согласно (3.32), равен 
				    I0 =.    		(3.35)
При n=1 интеграл (3.34) сводится к табличному подстановкой ax2=r, что дает
				        I1 =1/2a.    		(3.36)
При n>1 интеграл (3.34) сводится к (3.35) или (3.36) путем интегрирования по частям. Это, однако, довольно громоздкий метод, и разумнее пользоваться следующим приемом. Дифференцируя (3.34) по a, мы получим рекуррентное соотношение 
       или.	(3.37) 
В частности, 
	,   I4 = ,…; 	(3.38)	      .	(3.39)
	Результаты для I2, I3 надо научиться уверенно получать на экзамене. Для решения задач на упражнениях составьте и запишите в рабочую тетрадь таблицу формул для I n при четных и нечетных n от 0 до 7.
	12Свойство [8]: распределение по абсолютным значениям скоростей.  Определим среднее число молекул, у которых абсолютное значение скорости u = ||  лежит в интервале от u до u+du, a направление вектора   может быть любым. Для этого надо, прежде всего, записать  в сферической системе координат, через длину радиус-вектора u и угловые координаты q, j; при такой записи будет непосредственно видно, что распределение по  есть не только совместное распределение по декартовым составляющим скорости (гл.2), но и совместное распределение по || и по ориентациям. Далее, как и в гл.2, возможны разные задачи: 1) определение плотности условной вероятности wусл(u|q, j) для u  при заданных q  и j; 2) определение угловых распределений, например, wусл(q, j|u); 3) определение плотности безусловной вероятности w(u). 
	Нас здесь интересует третья задача. Поскольку в   (3.2)  является функцией только от u, и не зависит явно от q и j, переход к сферическим координатам сводится к записи d 3 через du, dq,  dj; после этого следует выполнить интегрирование по углам. Результатом будет формула вида ~ du, где коэффициент пропорциональности будет функцией только от u:
			            =  n(u) du = N w(u) du.		(3.40)
	На семинарах следует полностью выполнить описанную программу. Для этого вам придется вспомнить из курса математики выражение для элемента объема в сферических координатах. Для экзамена достаточен более простой путь, описываемый далее.
	Вспомним, что вводя понятие “элементарного скоростного объема” d 3, мы имели в виду разбиение пространства скоростей на ячейки, внутри которых можно было пренебрегать различием “локальных значений плотности” =/d3 между отдельными точками. [Здесь выражение в кавычках предполагает, что в следующей за ним формуле объемы d 3имеют намного меньшую величину, чем “ячейки”, о которых идет речь в предшествующем тексте.] Обычно возможность такого пренебрежения обеспечивается малыми размерами ячеек по всем направлениям, так что любые две точки в одной ячейке очень близки друг к другу. Такой выбор размеров d 3 годится всегда, при произвольной (конечно, непрерывной) функции распределения; но он не обязателен. В случае распределения Максвелла  (3.2), (3.1)  постоянно на сфере u=const., и поэтому d 3 можно выбрать как бесконечно тонкий сферический слой радиуса u и толщины du: d 3= 4p u2 du. Отсюда
     =Nw(u)du=4p u2 du=4p u2 du.	(3.41)
Заметим, что нередко именно (3.41) называют формулой Максвелла.
	Используя эту формулу вместе с (3.33)  не стремитесь объединять 4 и числовые множители, входящие в А, в одну числовую константу: всегда лучше выписывать все константы по отдельности в той форме, в которой они были получены  это напоминает о происхождении и смысле формулы и поможет вам вспоминать ее, не повторяя полностью весь вывод. Для экзамена это очень полезно. (Что касается реальной жизни, то вам следует самостоятельно решить, принимать ли всерьез шутку Эдисона, которая, в несколько усиленной форме, сводится к тому, что в голове не должно быть ничего: для этого есть справочники.) Ваш конспект не справочник, в нем экономия чернил полезна только тогда, когда она не мешает вспоминать происхождение констант. 
	13Свойство [9]: графики. (Будут добавлены в окончательном варианте) 
	14Свойство [10]: универсальность распределения Максвелла. Как будет подробно показано ниже (гл. 54, 77), распределение Максвелла справедливо для скоростей любых сферических частиц, а также для скоростей центров инерции любых групп частиц (т.е. молекул) независимо от действующих на них (или между ними) потенциальных силовых полей. Если молекулы могут рассматриваться как абсолютно жесткие (недеформируемые) твердые тела, то распределения типа максвелловского (3.14), (3.21) справедливы также для компонент угловой скорости в системе координат, где осями являются главные оси тензора моментов инерции (массы молекул заменяются главными моментами инерции). Единственным ограничением является требование достаточно высокой температуры, чтобы для рассматриваемых движений была с достаточной точностью применима классическая (не квантовая) механика.

	5Задачи к гл. 3.
	Задание 03.1 	 Получить формулы (3.36) — (3.39) для всех n≤7.	
	Задание 03.2 	 См. [17], задачи 317 — 323.
 Примечание: Решение уравнения, приведенного в ответе   на задачу № 320 следует искать графическим методом.