Лекция 5.
Л и т е р а т у р а  к курсу лекций.
А. Программа МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. (Рабочая программа курса "Общая физика".       Aннотированная. 2002 / 03 уч. г. Часть 2.)
     (Ссылки на программу и заголовки вопросов даются в формате: {Пр. m. S.} nQ, где      m  № раздела, S  заглавие раздела, n  № вопроса, Q  вопрос. В скобках {}       необязательные части ссылки.)

Б. Руководства. Список из программы А, не сокращенный для лекций. (Ссылки даются в  	формате: [№]: §§ №, №.)

[1]. Сивухин Д.В. Общий курс физики, Т. II. Термодинамика и молекулярная физика. М.,         1975‚… 2002.
[2]. Фриш С.Э., Тиморева А.В. Курс общей физики, T. I . М., 1962 и 2006 (более                                       ранние  другая     нумерация параграфов).
[3]. Молекулярная физика жидкостей в курсе общей физики. (Соловьев В.А.), Л., 1983,              2004.
[4]. Соловьев В.A.‚ Aджемян Л.Ц.‚ Фриш М.С. Избранные вопросы молекулярной физики.       1. Методы термодинамических преобразований. 2. Растворы. СПб‚ 1999. 
[5]. Кикоин И.К., Кикоин А.К. Молекулярная физика. М., 1976.
[6]. Матвеев А.Н. Молекулярная физика. М., 1971.
[7]. Рейф Ф. Статистическая физика. М., 1977.
[8]. Фейнмановские лекции по физике. Т.4, М., 1965.
[9]. Ландау Л.Д., Ахиезер А. И., Лифшиц Е.М. Курс общей физики. (Механика и             молекулярная физика). М., 1965.
[10]. Де Бур Я. Введение в молекулярную физику и термодинамику. М., 1962.
[11]. Кричевский И.Р. Понятия и основы термодинамики. М., 1970.
[12]. Поль Р.В. Механика, акустика и учение о теплоте. М., 1973.
[13]. Конспект лекций по физике для студентов физического факультета ЛГУ                (Молекулярная физика и термодинамика). (Толстой Н.А.). Л., 1966.
[14]. Методические указания по общему курсу физики (некоторые вопросы               термодинамики). (Спартаков A.A.‚ Толстой Н.A.). .Л.‚ 1990.
[15]. Хуанг К. Статистическая механика. 1964.
[16]. Сивухин Д.В. Общий курс физики.  Т. 1. М.‚ 1974   2002.
[17]. Сивухин Д.В. (редактор). Сборник задач по общему курсу  физики.   Термодинамика  	и  молекулярная физика.  М.‚ 1976.
[18]. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. М., 1979. (В более поздних изданиях изменены    номера многих задач. В ссылках вида “[18], задача №…” будут даваться также (в          кавычках) ключевые  слова или формулы для поиска задачи по новым изданиям.)
Глава 5. Распределение по скоростям в произвольной системе. Газокинетическая шкала температур.

	1Равенство средних кинетических энергий для молекул в смеси газов. 2Независимость распределения по скоростям от наличия внешних и межмолекулярных силовых полей. 3Средняя кинетическая энергия как мера температуры. 4Постоянная Больцмана. 5Сравнение методов вывода распределения Максвелла.

	Значительная часть этой главы построена на достаточно простых вычислениях (законность которых, тем не менее, может вызвать у вас сомнения) и довольно тонких логических рассуждениях. На экзамене не требуется все их воспроизводить. Вам следует только ознакомиться с ними и подготовиться к изложению результатов, основываясь на тезисах, сформулированных в данном выше подзаголовке, не гоняясь за математической и логической безупречностью доказательств. Имейте в виду, что в курсе статистической физики все эти результаты будут получены на основе более общего и строгого подхода.
Читать: [1], §§ 747, 62.

	1Распределение по скоростям для молекул в смеси газов. Не теряя общности, мы можем ограничиться смесью двух газов a и b, молекулы которых мы опять будем считать жесткими сферическими частицами с массами ma и mb. Согласно принципу детального равновесия, мы можем рассмотреть столкновения aa и bb в отдельности и, как в гл.38, доказать, что для молекул каждого из газов в смеси справедливы распределения Максвелла:
		          ,		(5.1)
		          ,		(5.2)
где Na, Nb  числа молекул каждого сорта, aa, ab и Aa, Ab   постоянные. Точно так же можно рассмотреть столкновения ab, при которых скорости молекул типа a изменяются от , а молекул типа  b   от . К ним применимы законы сохранения импульса и энергии:
			      ,		(5.3)
			      .		(5.4) 
Приравнивая числа прямых и обратных столкновений такого типа за какое-то время dt,
				  ,		(5.5) 
получим условие равновесия в виде:
			     .  		(5.6)
При получении этого уравнения мы, как и в гл.3, рекомендуем принять без доказательства равенство других множителей, входящих в левую и правую части (5.5); доказательство можно найти в [1], § 748.
	Подставляя в (5.6) формулы (5.1) и (5.2) и учитывая вытекающее из (5.4) равенство
			         v42 = (ma /mb)(υ12  υ32) + υ22 ,		(5.7)

получаем:
		NaAaNbAb = 
		=NaAa NbAb .		(5.8)
Сокращая одинаковые множители в левой и правой частях (5.8), мы видим, что (5.6) удовлетворяется тождественно, если
				   ma /aa = mb /ab ≡ 2/β,		(5.9)
где β  новая константа, одинаковая для обоих газов (и вообще, как мы увидим в дальнейшем, для всех систем, находящихся в термодинамическом равновесии друг с другом).
	Учитывая формулу (4.2) для среднего квадрата скорости молекулы, мы видим, что равенство (5.9) имеет глубокий физический смысл   оно означает совпадение средних кинетических энергий молекул двух газов:
				   <maua2/2> = <mbub2/2>.		(5.10)
В силу принципа детального равновесия равенство (5.10) применимо к любой паре молекул в смеси произвольного числа газов.
	При выводе формул (5.8)  (5.10) мы предполагали, что оба распределенияявляются максвелловскими. Нетрудно убедиться, что достаточно предположить максвелловскую форму для; тогда (5.6) будет функциональным уравнением относительно, и его решение при условии (5.4) даст распределение Максвелла с параметром aa, определяемым из (5.9). (В задании 6.2, см. список задач, предлагается самостоятельно проделать это полезное упражнение).
	Получить распределение молекул по скоростям для смеси двух идеальных газов можно и на основании свойства максимальной хаотичности (гл.31). При этом термодинамическая вероятность распределения представится произведением двух сомножителей вида (3.4), один из которых в качестве Nj и N будет содержать Naj , Na , а другой   Nbj , Nb;  условие связи, выражающее постоянство суммарной энергии (3.7) следует записать в виде ; если соответствующий (общий) множитель Лагранжа обозначить через β, то результат (5.9) будет получен автоматически. Условия Σ Na j = Na , Σ Nb j = Nb потребуют введения вместо δ двух множителей Лагранжа δa и δb, и соответственно появятся две нормировочные константы Аa и Аb, но это практически не усложнит вычислений.
	2Независимость распределения по скоростям от наличия внешних и межмолекулярных силовых полей. Допустим теперь, что на молекулы a могут действовать дальнодействующие, т.е. сравнительно слабо зависящие от координат, потенциальные силы  внешние и межмолекулярные. Что касается молекул b, то в порядке мысленного эксперимента мы введем искусственное предположение, что их взаимодействия подчиняются законам столкновения твердых сфер как при встречах типа bb, так и при встречах типа ba . Для нас несущественно, что в реальности такое фантастическое предположение неосуществимо. В духе принципа детального равновесия, достаточно потребовать, чтобы столкновения ba, если бы они происходили, не нарушали распределения по скоростям для молекул типа a; тогда последнее и само по себе можно будет считать равновесным. 
	“Твердые сферы”  это, конечно, идеализация; на самом деле мы предполагаем, что их столкновения длятся настолько малое время и смещения молекул за это время настолько малы, что соответствующими изменениями импульса и потенциальной энергии молекул a за счет дальнодействующих сил можно пренебречь. Тогда законы сохранения импульса и кинетической энергии можно считать выполненными не только для столкновений типа bb, но и для столкновений ba. 
	Поведение молекул a при их столкновении с молекулой b и после столкновения напоминает задачу о баллистическом маятнике (см. [2], § 962, [17], § 264); то, что в этой задаче обычно рассматривают неупругий удар, для нас несущественно. (Попутно заметим, что в теории баллистического маятника важна не столько малость квазиупругих и диссипативных  внешних сил, действующих на маятник, сколько малость их импульса, связанная с кратковременностью удара; это обстоятельство не оговорено в [2], [17], и в качестве полезного упражнения мы рекомендуем соответственно дополнить теорию). В связи с указанной аналогией мы будем называть газ b “баллистическим”. 
	Потребовав равновесности распределения скоростей по отношению к столкновениям bb, мы немедленно получим для баллистического газа распределение Максвелла (5.2). Далее, введя в рассмотрение столкновения молекул b с молекулами a, мы получим для последних распределение (5.1), как описано выше. 
	Если предположить что кроме молекул b и a, в системе имеются еще “обычные” молекулы c, d и т.д., то рассматривая их столкновения с  молекулами b, мы найдем
			,		(5.11)
где	 mc /ac = mb /ab и аналогично для молекул d и т.д. Таким образом, для всех молекул, обменивающихся энергиями теплового движения, должны иметь место распределения Максвелла по скоростям, и параметры  этих распределений связаны соотношениями вида (5.9). 	 
	Мы не предполагаем, что распределения (5.1),  (5.11), … действительно устанавливается столкновениями ba, bс,… .  На самом деле они устанавливаются и поддерживаются силами взаимодействия между обычными молекулами, а предположение о наличии в системе вспомогательного фантастического газа b  всего лишь искусственный прием, введенный для использования принципа детального равновесия вместо рассмотрения реальных процессов, управляемых законами  взаимодействий ac, ad, cd…, которые могут быть весьма сложными. К молекулам a, с, d…предъявляются только два требования: 1) они, как и b, должны быть бесструктурными, жесткими сферически симметричными частицами (чтобы в законы сохранения входила только кинетическая энергия поступательного движения), так что их лучше называть атомами; 2) их движение при рассматриваемых температурах должно с достаточной точностью описываться классической механикой. Нет необходимости даже в предположении, что система представляет собой газ или газовую смесь: только “газ b” должен быть достаточно разрежен, чтобы существовали парные столкновения bb, ba, bc, bd…, а системы атомов a, c, d… могут представлять собой жидкости или твердые тела. Сферические атомы a, c, d…могут быть соединены в двухатомные или многоатомные молекулы; правда, движения атомов, соединенных в молекулу, как и молекул в твердом теле, не очень часто описываются классической механикой. Подсистемы a, с, d… могут быть пространственно разделены: например, из атомов d может быть построена твердая (но теплопроводная!) стенка, разделяющая подсистемы a и c.
	3Средняя кинетическая энергия как мера температуры. Постоянная Больцмана. Последний из упомянутых случаев представит для нас особый интерес. Мы доказали, что равновесие в такой  системе отвечает максвелловским распределениям скоростей для атомов подсистем a и c, причем имеет место соотношение (5.12) между параметрами этих распределений. Но мы знаем из термодинамики (даже школьной!  см. учебники), что термодинамическому равновесию между подсистемами, заключенными в жесткие теплопроводные оболочки, (т.е. “тепловому равновесию”), соответствует равенство их температур. Таким образом, мы можем дать молекулярно-кинетическое определение температуры: T ~ 1/b. Шкала температур, в которой
		      	          1/b = (2/3)<maa2/2> = kT		(5.12)
(где  k  постоянная Больцмана), называется газокинетической (приставка “газо-” здесь дань традиции). Отсюда для газа из молекул, имеющих массу m, средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы равна
			         <Eк> = <m 2/2> = (3/2)kT		(5.13)
	 Молекулярно-кинетическое обоснование связи температуры с уравнением состояния будет дано в гл. 6.
	4Сравнение методов вывода распределения Максвелла. В гл. 3 были предложены на выбор три метода нахождения равновесного распределения сферических газовых молекул по скоростям, основанные на различных постулатах о его свойствах. Дадим теперь краткий сравнительный обзор этих методов, во-первых, с точки зрения убедительности результата и, во-вторых, имея в виду возможности его обобщения. 
	1. Постулат о максимальной вероятности равновесного распределения может быть распространен на идеальные газы с любым строением молекул. При этом надо будет говорить о распределении не только по скоростям, но по состояниям молекул в более широком смысле, учитывая (неявно — только в энергии молекулы) также и возможность движения всех атомов в ней (подробнее о распределении в многомерном “пространстве состояний” будет говориться в гл. 77). Рассматривая набор возможных состояний каждой молекулы как дискретный и пронумеровав их [по аналогии с формулой (3.3)] можно выразить термодинамическую вероятность состояния газа Wт через числа молекул в различных состояниях Nj  и найти наиболее вероятные (или средние, < Nj >) значения этих чисел. Расчет, в точности повторяющий главу 33 [начиная с формулы (3.4)] приведет тогда к результату, который будет отличаться от от (3.11)  (3.12) [т.е. (3.1)  (3.2)] только заменой  au2 на be, где e — полная энергия молекулы, а b  неопределенный множитель Лагранжа. Иначе говоря, функция распределения молекул по состояниям будет иметь вид:
			                 	         < Nj >exp(bej).		(5.13)
Откладывая пока общий анализ этого результата, заметим, что в любой молекуле полная энергия e содержит в качестве слагаемого кинетическую энергию поступательного движения mu 2/2. Соответственно функция распределения по состояниям  < Nj > содержит множитель exp(bmuj 2/2), представляющий собой, в соответствии с общим правилом, независимое от других переменных частное распределение по скоростям поступательного движения. Итак, скорости поступательного движения молекул газа (т.е скорости их центров инерции) подчиняются распределению Максвелла с параметром a=mb/2= m/2kT.
	2. Постулат об инвариантности равновесного распределения по отношению к упругим столкновениям непосредственно применим только к идеальному газу из жестких сферических  молекул. Однако, применив искусственный прием — представление о “баллистическом” газе, — мы можем вывести распределение Максвелла и для атомов, входящих в состав нежестких молекул (если атомы входят в состав жестких структур, то столкновения с ними не могут рассматриваться как баллистические; но абсолютно жесткие молекулы — это только идеализация, вводить которую вовсе не обязательно; что касается атомов, то их действительно можно считать “очень жесткими” сферическими частицами; см. об этом гл. 8 — 9). Далее, если для скоростей атомов какой-либо группы (например, входящих в состав одной молекулы) справедливы независимые друг от друга максвелловские распределения, отвечающие одной и той же температуре, то это справедливо и для скорости их общего центра инерции (см. ниже задачу 5.1). Таким образом, основываясь на этом постулате можно вывести распределение Максвелла и для молекул (одноатомных или многоатомных), входящих в состав как газов, так и конденсированных сред — твердых тел и жидкостей. Напомним, однако, еще раз, что движение атомов должно для этого подчиняться класссической механике.
	Еще одно важное преимущество метода, основанного на явном рассмотрении межмолекулярных столкновений, которое в нашем курсе не будет использовано, это возможность построения “кинетического уравнения” (Больцмана), описывающего эволюцию функции распределения в неравновесных состояниях газа.
	3. Постулат о независимости частных распределений для декартовых компонент скорости интересен, прежде всего, как исторически первый подход к задаче, использованный Максвеллом. В [1] говорится также, что он может быть применен не только к газам, но и к конденсированным телам, но фактического рассуждения, которое можно было бы считать его убедительным независимым обоснованием, не приводится (как, впрочем, и для газов, даже одноатомных).

	5Задачи к гл. 5. 
(В заданиях 5.1, 5.2 считать, что движение атомов в молекуле подчиняется классической механике).
	Задание 5.1.	Показать, что средняя квадратичная скорость центра инерции системы из Z атомов  (например, молекулы) равна средней кинетичеекой энергии  каждого из атомов.	
	Задание 5.2.	Показать, что если молекула состоит из Z одинаковых или различных атомов, скорости которых независимы и подчинены распределению Максвелла , отвечающему температуре Т, то скорость ее центра инерции подчинена такому же распределению. Указание. Пользоваться распределениями,  а  не!	
	Задание 5.3.	Показать, что если и при столкнове-ниях выполнен закон сохранения кинетической энергии (5.4), то решением функционального  уравнения (5.6) относительно будет , где aa   связано с  ab равенством (5.8).