Выдающийся советский физик-теоретик. Блестящий лектор и популяризатор физики. Сыграл значительную роль в организации и становлении физики в СССР. Родился 29 мая 1890 года в Петербурге. В 1908 году поступил на физико-математический факультет Петербургского университета. В 1913–1914 годах учился в Голландии у П. С. Эренфеста, Г. А. Лоренца и П. Дебая. В 1915 году окончил университет и был оставлен при кафедре физики. В 1919 году, защитив диссертацию «Об адиабатических инвариантах», становится преподавателем, а с 1922 года профессором Петроградского университета. В 1922–1923 годах работает в Германии по командировке Академии наук. С 1924 года работает в Главной палате мер и весов. В 1925–1926 годах по стипендии International Education Board провел 10 месяцев в Берлине, Гамбурге, Геттингене. Член-корреспондент АН СССР (1933).
Основные работы — в области квантовой теории, статистической механики, вращении твердых тел. Его исследования адиабатических инвариантов имели важное значение для теории атома, а исследования по механике — для теории гироскопов. Ю. А. Крутков внес ценнейший вклад в теоретическую механику, а также квантовую и статистическую физику.
В 1936–1947 годах был репрессирован, из них более 7 лет работал по специальности. Во время заключения написал теоретическую работу по теории упругости, которая в 1949 году была издана Академией наук в виде отдельной монографии под заглавием «Тензор функций напряжений и общие решения в статике теории упругости». За специальные работы во время заключения ему была присуждена Сталинская премия. В 1948 году вернулся к преподаванию в ЛГУ. Реабилитирован в 1957 году.
«Он был очень красив собой, живой, остроумный. Большая талантливость уживалась в нем с полной несистематичностью в работе. Рассказывали, что, будучи студентом, он настолько пренебрегал своими учебными обязанностями, что затягивал сдачу экзаменов до последнего возможного срока. ... Юрий Александрович, начав преподавать, проявил себя лектором исключительного блеска. У него было все: и оригинальность изложения, и глубина, и умение сделать материал доходчивым, и внешняя эффектность.» (С. Э. Фриш)