Рассмотрим возможность использования стохастического характера среды распространения электромагнитных волн для определения параметров сигнала. Конкретно рассмотрим возможность оценки отношения амплитуд «земного» и отраженного от ионосферы сигналов при распространении электромагнитных волн в волноводном канале Земля — ионосфера. Будут рассмотрены два альтернативных метода : метод моментов и метод максимального правдоподобия.
Для использования этих методов существенно выполнение следующих условий:
-
в точке приёма электромагнитное поле представляется суммой двух волн «земной» , распространяющейся вдоль земной поверхности и однократно отраженной от ионосферы,
-
принимается гипотеза о типе (характере) плотности распределения амплитуды отраженного сигнала.
Далее определяются параметры плотности распределения суммарного сигнала. Естественно, что эти условия, даже приближенно, выполняются только в ограниченной области частот, электрических свойств земной поверхности и ионосферы.
Модель односкачкового распространения адекватно описывает условия распространения электромагнитных волн в средневолновом и длинноволновом диапазонах ( на частотах 0.1 — 1.5 мГц) при распространении над сухопутными трассами протяжённостью в сотни километров. При этом амплитуды многократно отраженных волн оказываются относительно малыми и полное поле определяется суммой «земной» и однократно отраженной волн. Такая модель подтверждается экспериментально при анализе принимаемых импульсных щирокополосных сигналов, когда оказывается возможным разделение этих волн вследствие запаздывания отраженной волны. Ранее выполненные эксперименты с импульсными сигналами позволили установить, что ортогональные компоненты отраженного сигнала в большинстве случаев распределены нормально и независимо, причем практически с нулевым средним. Отсюда следует, что амплитуда суммарного сигнала подчиняется закону распределения Рэлея-Райса [ ].
(6.1)
где
- модифицированная функция Бесселя нулевого порядка.
Параметрами функции (6.1) являются: амплитуда земного сигнала (a),
( её считаем детерминированной, не подверженной случайным флуктуациям), среднеквадратичная величина амплитуды отраженного сигнала s и величина амплитуды суммарного сигнала r . Равенство s = 0 соответствует отсутствию отраженного сигнала.
Задача состоит в том, чтобы из экспериментально полученной реализации суммарного сигнала определить параметры a иs .
В качестве источников сигнала можно использовать обычные радиовещательные станции, выделяя при приёме только амплитуду суммарного сигнала на несущей частоте.
Отражающая верхняя граница волновода — ионосфера подвержена случайным флуктуациям, поэтому электромагнитное поле отраженной волны — случайный процесс, вообще нестационарный. При выборе временного интервала анализа следует иметь в виду, что должны быть удовлетворены противоречивые требования. Действительно, с одной стороны, интервал анализа должен быть минимальным, чтобы не потерять естественные природные вариации свойств ионосферы и чтобы на этом интервале процесс можно было считать стационарным. Это позволяет использовать классическую теорию стационарных случайных процессов. С другой стороны, интервал между отсчётами при измерениях должен превышать время корреляции случайного процесса, чтобы эти отсчёты были независимыми. Кроме того, понятно, что для получения статистических оценок на интервале «стационарности» необходимо иметь представительное число отсчётов. Возможность удовлетворения указанным противоречивым требованиям зависит от конкретного физического процесса. В результате обработки данных эксперимента с широкополосными импульсными радиосигналами было установлено: время корреляции амплитуд отраженных сигналов составляет единицы минут. Поэтому интервал выборки для анализа должен быть не менее десятков минут. При увеличении его сверх этого интервала может быть не оправдана гипотеза о стационарности процесса. На восходе и заходе Солнца этот интервал должен быть уменьшен до минут.
Считая, что закон распределения плотности вероятности (1) выполняется для экспериментально зарегистрированных амплитуд суммарного сигнала, строятся поверхности первого и второго моментов (Рис. 29 ? 30)по данным выборки над плоскостью параметров a и s .По известным формулам[6]:
, (6.2)
, (6.3)где I0, I1 — модифицированныефункции Бесселя нулевого и первого порядка.
Далее, сравнивая реальные, полученные по данным эксперимента , М1* и М2* с предвычисленными для наборов значений (a, s), подбирается пара параметров aк, sк таких, чтобы значения предвычисленных и экспериментальных моментов оказались равными ( с точностью до шага вариации аргумента функций (6.2), (6.3) при вычислениях).
Практически подбор искомых параметров aк, sк осуществляется следующим образом. Плоскостями, соответствующими найденным из эксперимента значениям моментов М1* и М2*, проводятся сечения поверхностей моментов М1 и М2, априорно построенных по их вычисленным значениям для набора (сетки) параметров (aк, s к). Эти сечения, проектируясь на плоскость параметров, дают изолинии, как функции этих параметров.
Точка пересечения изолинии первого и второго моментов на этой плоскости и даёт искомые значения параметров, которые обеспечивают равенство априорно вычисленных моментов М1 , М2 со значениями М1*, М2*, найденными из эксперимента.
Математическое моделирование эксперимента показало работоспособность этого метода. Наиболее информативными являются первый начальный и второй центральный моменты. Это связано с тем, что для двух начальных моментов при реально ограниченной выборке изолинии пересекаются под острым углом и результат получается с большим разбросом Рис.31. А при использовании при обработке центрального второго момента , отраженный от ионосферы сигнал уверенно отделялся от «земного» даже при его относительно малой амплитуде.
Очевидно, что конкретное расположение проекций сечений поверхностей М1, М2 плоскостями М1* и М2* и, следовательно, угол пересечения этих проекций зависит от величин моментов, полученных по данным эксперимента. Таким образом, результаты определения a, s могут иметь различную точность.
Работоспособность метода моментов подтвердилась и при обработке данных реальных экспериментов. В качестве примера на рис 6.4 изображена гистограмма амплитуд суммарного сигнала радиостанции * Маяк* на частоте 549кГц и построенный по найденным параметрам график функции плотности распределения Релея — Райса (1). Полученное совпадение можно считать приемлемым (рис.6.4). Недостатком рассмотренного метода моментов является также и то, что отсутствуют теоремы, позволяющие охарактеризовать свойства получаемых оценок параметров.
Для решения рассматриваемой задачи об определении отношения амплитуд *земного* и отраженного сигналов на основе статистических характеристик суммарного сигнала может быть использован и широко известный метод максимального правдоподобия. При использовании этого метода будем также считать, что огибающая суммарного сигнала случайная величина r, распределённая по закону Рэлея-Райса. Плотность распределения вероятности этой случайной величины описывается выражением (6.1):
(6.1).Здесь a — амплитуда земного сигнала (в конкретном эксперименте постоянная величина), s — среднеквадратическая амплитуда отраженного от ионосферы сигнала, r — амплитуда суммарного сигнала, регистрируемая в эксперименте.
Максимально правдоподобной оценкой называется та, которая максимизирует так называемую функцию правдоподобия — плотность вероятности выборки (выборка — это набор из N независимых измерений величин 
). Так как измерения независимы, то эта плотность вероятности равна произведению плотностей вероятности отдельных её элементов. Учитывая большой динамический диапазон плотностей распределения, на практике оказывается удобным рассматривать логарифмы соответствующих величин. Тогда вместо произведения плотностей вероятности максимизировать сумму их логарифмов, учитывая монотонность этой функции.
Рассмотрим два варианта приложения метода максимального правдоподобия к задаче определения отношения амплитуд *земного* и отраженного сигналов. В первом варианте предполагается возможность измерения отдельно амплитуды *земной* волны. Это может быть возможно при некоторых условиях (частота сигнала, протяженность трассы и др.) в дневное время. При продолжении измерений в ночное время появляется отраженная волна и принимается уже суммарный сигнал . Таким образом, единственным параметром, требующим определения, оказывается отношение амплитуды отраженного сигнала к амплитуде *земного* .(g).В выражении (6.1) перейдём к новым переменным : 
. Тогда можем записать для плотности вероятности в безразмерных величинах:
(6.4).Прологарифмировав функцию (6.4), а затем просуммировав по всем измеренным 
, получим искомый логарифм функции правдоподобия:
(6.5).Задача теперь состоит в том, чтобы найти при каком g эта функция максимальна, то есть какое g наиболее вероятно.
Во втором варианте, когда возможно измерение только амплитуды суммарного сигнала, имеем два неизвестных параметра — амплитуды *земного* и отраженного сигналов. В этом случае удобно также перейти к безразмерным величинам: 
После логарифмирования суммирования функционал примет следующий вид:
(6.6).Данный функционал нужно максимизировать по двум параметрам, чтобы найти интересующее отношение амплитуд *земного* и отраженного сигналов.
Приведём примеры обработки данных сеанса измерений по методу правдоподобия в обоих вариантах. Анализировались сигналы радиостанции Finnradio (558 кГц), расположенной от пункта наблюдения на расстоянии 260 км. В этих условиях, как показали предварительно выполненные расчёты, а также прямые наблюдения, в дневных условиях отражённый от ионосферы сигнал практически отсутствовал. Амплитуда *земного* сигнала стабильна и равна 990 ед. АЦП. Поэтому можно было применить первую однопараметрическую модификацию метода. На рис 6.5 приведён график логарифма одномерной функции правдоподобия для одного из ночных сеансов с использованием найденной ранее величины (a).
Уверенно выделяется максимум при g = 0.175, что соответствует амплитуде отраженного сигнала s = 173 ед. АЦП.
Использование второго варианта метода иллюстрируется результатом обработки данных этого же сеанса наблюдений
Вычислялся логарифм двумерной функции правдоподобия для того же промежутка времени, но в предположении, что не известны обе амплитуды. На рис.6.6 изображён рельеф функции (6.5)- двухмерного логарифма функции правдоподобия.
Получены величины : *земной* сигнал a= 1020 ед. АЦП и отраженный s =170 ед. АЦП. Таким образом, относительное различие амплитуд одноимённых сигналов для обоих вариантов обработки составляет единицы процентов. Это свидетельствует о непротиворечивости и однозначности использованных вариантов метода максимального правдоподобия.
Преимущество метода максимального правдоподобия заключается в том, что теоретически доказано, что получающиеся оценки оказываются асимптотически несмещёнными, нормально распределенными и асимптотически состоятельными.
По описанной методике был обработан ряд круглосуточных сеансов.[7]. Повторяемость суточной зависимости амплитуды отражённой волны иллюстрируется графиками на рис. 35, которые соответствуют результатам обработки данных методом максимального правдоподобия за трое последовательных суток ( 20.03 , 21.03 , 22.03.02 в 2002 году).
Резюмируя физический результат приведенных примеров, можно утверждать, что в весенний сезон ( март) на данной трассе на рабочей частоте 558кГц до 22-хчасов и после7-мичасов , т.е. в дневное время, отраженный сигнал отсутствовал. В ночное же время наблюдается четкий суточный ход амплитуды отраженного сигнала с максимумом примерно в полночь а, так как амплитуда этого сигнала распределена по закону Релея, то легко получить, что с вероятностью 90% она меняется от 0 до 3.25 от амплитуды *земного* сигнала.
Необходимо ещё раз подчеркнуть, что описанный метод определения относительной величины амплитуды отраженного от ионосферы сигнала исследован и работает только при условии, что амплитуда отраженного сигнала подчиняется принятому закону плотности распределения вероятности в средневолновом диапазоне радиоволн при наблюдении за сигналами, распространяющимися над сухопутными трассами, протяжённостью несколько сотен километров. При увеличении длины трассы возрастает роль отражений высоких кратностей, и характер распределения амплитуды становится иной.
Заметим также, что если бы ионосфера оказалась в таком «спокойном» состоянии, что отражения от неё имело бы зеркальный характер, то рассмотренный выше метод не работал бы: суммарная амплитуда принятого сигнала была бы константой, возможно подверженной лишь медленному «тренду» в течение суток . Однако в действительности механизм отражения электромагнитных волн не соответствует модели зеркального отражения и метод работает (!) с указанными выше ограничениями по диапазону и дальности.
В заключение можно сделать вывод, что изложенный метод определения относительных амплитуд (в обоих вариантах ) , основанный на анализе статистических характеристик суммарного сигнала, может служить удобным инструментом наблюдения вариаций отражающих свойств нижней ионосферы . Практическое удобство этого метода в том, что ,во-первых, имеется очень широкий набор *даровых* источников — вещательных станций, расположенных на различных расстояниях и излучающих разные частоты.Во-вторых, в том, что регистрирующая аппаратура достаточно проста и ею могут быть укомплектованы многие измерительные пункты. Это может обеспечить дополнительный канал мониторинга состояния нижней ионосферы.