Функции когерентности B(t) и корреляции R(t), определяющие связь двух значений случайной величины в произвольные моменты времени, были определены через двумерную плотность распределения вероятности [ см. (1.6), (1.7),(1.8) основного текста].
Для эргодических процессов эти же функции были определены усреднением произведения двух текущих значений случайного процесса при сдвинутых аргументах. [см.(1.12) основного текста ].
Приведём доказательство основных свойств корреляционных функций.
1.Из определения этих функций (1.6) , (1.12) следует, что при t=0
— мощность случайного процесса.
2. Функция корреляции четная функция.
Действительно :
.
3. Функция R(t) есть невозрастающая функция.
Это свойство следует из равенства:
. Или
, беря среднее по времени от обеих частей этого равенства, получаем:
.
4. Функция корреляции детерминированного процесса.
Пример 1.
Заметим , что при конечном времени интегрирования Т корреляционная функция имеет член, описывающий осцилляции по аргументу
, убывающие как 1/T.
Пример 2. Функция корреляции для детерминированной перидической функции.
Так как функция x (t) представлена рядом по полной системе ортогональных функций, то в результате вычисления интегралов (аналогичных тому, который был вычислен в предыдущем примере) будут не равны нулю лишь члены с одинаковыми частотами. Это даст для искомой корреляционной функции следующий результат:
Аналогично можно убедиться, что и взаимная корреляционная функция двух периодических функций будет содержать только те частоты, которые имеются в обеих функциях.