Приложение 2. Связь между корреляционными функциями и спектральными плотностями на входе и выходе линейной системы [1]

Рассматриваем линейную систему, имеющую комплексный коэффициент передачи и импульсную функцию . Пусть на вход этой системы подан стационарный случайный сигнал , имеющий корреляционную функцию и спектральную плотность . Найдём корреляционную функцию и спектральную плотность на выходе системы.

Имеем:

.

Но .

Подставив (п.2.2) в (п.2.1), имеем :

Меняя порядок интегрирования, получим:

(п.2.3).

Так как

То вместо (п.2.3) можно написать:

Найдём теперь соотношение между спектральными плотностями входного и выходного сигналов.. Имеем:

Подставляя (п..2.4) в (п.2.5), получим:

В других обозначениях:

(п.2.6).

Это соотношение широко используется при оценке спектральной плотности мощности шума в линейных системах.